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Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, P2 - Profº Leonardo - 2018.2, Questão 2f

(2) Considere f x , y = ( x 2 - x ) y + y 2 2 - 1 2 , definida em todo R 2 . Responda:

f) Classifique os pontos críticos (máximo ou mínimo local, ou ponto de sela).

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema temos que classificar os pontos críticos de f como pontos de mínimo ou máximo local ou ponto de sela.

Lembra como fazemos isso? 👀

No item anterior calculamos os pontos críticos de f como P 1 = 1 2 , 0 , P 2 = 0,0 , P 3 = 1 2 , 1 4 e P 4 = 1,0 a partir das derivadas parciais de f igualando-as a 0 .

Agora para classificar os pontos críticos, precisamos calcular o determinante

D = f x x f x y f y x f y y

Para cada ponto P , assim, se D > 0 e f x x > 0 , o ponto P é mínimo.

Agora se D > 0 e f x x < 0 , o ponto P é máximo.

Mas se D < 0 , o ponto P é de sela.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais de f

∂ f ∂ x = ∂ x 2 - x y + y 2 2 - 1 2   ∂ x = 2 x y - y

∂ f ∂ y = ∂ x 2 - x y + y 2 2 - 1 2   ∂ y = x 2 - x + y

O próximo passo é pegar f x = ∂ f ∂ x e derivar novamente em relação a x e em relação a y

f x x = ∂ 2 x y - y ∂ x = 2 y

f x y = ∂ 2 x y - y ∂ y = 2 x - 1

Agora fazemos o mesmo para f y = ∂ f ∂ y

f y x = ∂ x 2 - x + y ∂ x = 2 x - 1

f y y = ∂ x 2 - x + y ∂ y = 1

Portanto a matriz D será determinada por

D = f x x f x y f y x f y y → D = 2 y 2 x - 1 2 x - 1 1

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora o que temos que fazer é aplicar os pontos P em D ...

Começando por P 1 = 1 2 , 0 ...

D = 2 0 2 1 2 - 1 2 1 2 - 1 1 = 0 0 0 1 0

Nesse caso, D = 0 e f x x = 0 , então não podemos afirmar nada com essas ferramentas.

Para P 2 = 0,0

D = 2 0 2 0 - 1 2 0 - 1 1 = 0 - 1 - 1 1 = - 1

Como D < 0 , então o ponto P 2 é um ponto de sela.

Pra o ponto P 3 = 1 2 , 1 4

D = 2 1 4 2 1 2 - 1 2 1 2 - 1 1 = 1 2 0 0 1 = 1 2

Nesse caso, D > 0 e f x x > 0 , logo, P 3 é mínimo local.

Por último, para P 4 = 1,0 , temos

D = 2 0 2 1 - 1 2 1 - 1 1 = 0 1 1 1 = - 1

Assim, D < 0 então P 4 é ponto sela.

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

P 1 = 1 2 , 0 : não foi possível classificá-lo.

P 2 = 0,0 : Ponto de sela.

P 3 = 1 2 , 1 4 : Ponto de mínimo.

P 4 = 1,0 : Ponto de sela.

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