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Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

Máximos e mínimos

Dada a função

f x , y = x 3 3 - 4 x + y 2 - 1 3

Determine e classifique os pontos críticos de f em todo o R 2

Passo 1

Calcular gradiente:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

⇒ ∇ f x , y = x 2 - 4 ,   2 y

Passo 2

Encontrar pontos críticos:

∇ f = 0 →

⇒ x 2 - 4 ,   2 y = 0,0

Passo 3

Igualando as coordenadas:

x 2 - 4 = 0   2 y = 0

Pela segunda equação:

2 y = 0

⇒ y = 0

Pela primeira equação:

x 2 - 4 = 0

⇒ x 2 = 4

⇒ x = ± 2

Então temos duas possibilidades:

± 2,0

Ou seja:

2,0   ; - 2,0

Passo 4

Calculando derivadas segundas:

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 2 - 4 = 2 x

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 2 y = 2

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 2 y = 0

Passo 5

Calculando H x , y :

H x , y = f x x x , y f x y x , y f y x x , y f y y x , y

⇒ H x , y = 2 x 0 0 2

⇒ H x , y = 2 x 2 - 0 0

⇒ H x , y = 4 x

Passo 6

Agora vamos calcular H x , y para cada ponto crítico:

P 1 = 2,0

H P 1 = H 2,0

⇒ H P 1 = 4 2

⇒ H P 1 = 8

Como H P 1 > 0 , então este é um ponto de máximo ou mínimo.

Para saber, basta analisar o sinal de f x x P 1 :

f x x x , y = 2 x

⇒ f x x P 1 = f x x 2,0 = 2 ( 2 )

⇒ f x x P 1 = 4

Como f x x P 1 > 0 , então este é um ponto de mínimo.

Passo 7

P 2 = - 2,0

H P 2 = H - 2,0

⇒ H P 2 = 4 - 2

⇒ H P 2 = - 8

Como H P 2 < 0 , então este é um ponto de sela.

Resposta

Ponto de mínimo local: 2,0

Ponto de sela: - 2,0

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