Uma empresa produz camisas e calças por mês. Cada camisa é vendida por e cada calça por . O custo total da empresta para produzir e vender camisas e calças é

Admitindo que tudo que a empresa produz é vendido de fato, determine a produção que maximiza o lucro da empresa, bem como o lucro máximo possível.

(Dica: o lucro é o total arrecadado com as vendas menos o custo de produção e venda).

O lucro será máximo quando a derivada dele for nula. Ou seja,

Vamos calcular as derivadas parciais de :

Assim, precisamos resolver o sistema:

Podemos dar uma simplificada nesse sistema antes de começar a resolver:

Isolando o na primeira equação

E substituindo na segunda:

E assim

Portanto, o único ponto crítico da nossa função é .

Agora vamos classificar esse ponto crítico pra saber se ele é ponto de máximo, usado o teste da derivada segunda.

Primeiro vamos calcular as derivadas segundas de :

E as derivadas parciais mistas:

Agora sim, o teste da derivada segunda fica:

E, como , então nosso ponto é um ponto de máximo local.

E, como é diferenciável e só possui um único ponto crítico em , que é o próprio , então esse ponto também é ponto de máximo global.

Assim, o lucro máximo é