Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis
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P2 – Cálculo Diferencial e Integral 2 – 2021.2 – Profª Cláudia Brunosi Medeiros
Encontre os pontos críticos da função . Determine se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
Passo 1
Para acharmos os pontos críticos precisamos ter
Então, vamos primeiro achar as derivadas parciais de
Passo 2
Como as derivadas devem ser iguais a zero, montamos o sistema
Pela segunda equação, temos
Devolvendo esse valor na primeira equação temos
Juntando todas as possibilidades, temos
Que são os pontos
Passo 3
Os pontos obtidos no passo anterior são os pontos críticos da nossa função. Mas agora a gente precisa classificar esses pontos em máximos, mínimos ou pontos de sela. Para fazer isso, a gente calcula o determinante abaixo
Vamos lá!Primeiro a gente precisa de todas as possíveis derivadas de segunda ordem
Passo 4
Passo 5
Como não precisamos calcular a outra derivada de segunda ordem
Passo 6
Vamos calcular o valor de cada derivada de segunda ordem no ponto
Substituindo esses valores na matriz Hessiana:
O hessiano é então
Como e temos , o ponto é um ponto de máximo local.
Passo 7
Vamos calcular o valor de cada derivada de segunda ordem no ponto
Substituindo esses valores na matriz Hessiana:
O hessiano é então
Como e temos , o ponto também é um ponto de máximo local.
Resposta
Pontos Críticos: e
Ambos os pontos são Máximos locais.