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Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis

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Exercício 781234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677798081828384858687888990919293949596

Enunciado

USP – Álgebra Linear 2 – P3 – 2016

Q13. O polinômio característico da matriz

A = 2 1 1 3 0 1 6 2 1

É p A t = - t - 5 t + 1 2 . Temos que a solução X do sistema de equações diferenciais X ' t = A X t satisfazendo a condição X 0 = 0,3 , 3 é dada por:

  1. X t = e - t - e 5 t , e - t + 2 e 5 t ,   2 e - t + e 5 t ;
  2. X t = e - t - e 5 t , 3 2 e - t + 3 2 e 5 t ,   e - t + 2 e 5 t ;
  3. X t = e 5 t - e t , e 5 t + 2 e - t , 2   e 5 t + e - t
  4. X t = e - t - e 5 t , e - t + 2 e 5 t , 3   e - t ;
  5. X t = e 5 t - e - t , e 5 t + 2 e - t ,   e 5 t + 2 e - t

Passo 1

Falaaa... beleza??? Nessa questão vamos encontrar a solução do sistema de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro vamos achar os autovalores:

- t - 5 t + 1 2 = 0

t = 5

t = - 1

E achando os autovetores:

Para t = 5 :

1,1 , 2

Para t = - 1 :

- 1,0 , 3 , - 1,3 , 0

Daí já podemos escrever a solução:

x 1 = 1 K 1 e 5 t + - 1 K 2 e - t + - 1 K 3 e - t

x 2 = 1 K 1 e 5 t + 3 K 3 e - t

x 3 = 2 K 1 e 5 t + 3 K 2 e - t

Passo 3

Aplicando a condição: X 0 = 0,3 , 3

0 = K 1 - K 2 - K 3

0 = K 1 + 3 K 3

0 = 2 K 1 + 3 K 2

Resolvendo esse sistema:

K 1 = 1

K 2 = 1 3

K 3 = 2 3

Então a solução será:

X t = e 5 t - e - t , e 5 t - 2 e - t , 2 e 5 t + e - t

Letra c

Resposta

Letra c

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