Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis
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Considere a função dada por
Onde é um número real não nulo.
- Para que valores de a função possui exatamente dois pontos críticos?
- Classifique os dois pontos críticos de obtidos no item anterior.
Passo 1
Para achar os pontos críticos vamos fazer:
Assim
Da segunda equação, temos de cara que
Da primeira equação, vamos ter que usar báskara! Assim
Simplificando:
Passo 2
Aí, para termos dois valores de , e consequentemente dois pontos críticos, o que tá dentro da raiz (que é o tal do ), tem que ser maior do que zero.
Então,
Passo 3
Os pontos críticos que encontramos foram:
E
Para classifica-los, vamos ter que usar o teste da derivada segunda. Assim, vamos primeiro encontrar as derivadas segundas.
E
E
Passo 4
Substituindo essas derivadas segundas nos pontos críticos:
Para :
E para :
Passo 5
Calculando :
Para :
Como e , então é um ponto de mínimo.
E para :
Como , então é um ponto de sela.
Resposta
é um ponto de mínimo.
é um ponto de sela.
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