Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis
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Classificação de Pontos Críticos
Considere a função
- Encontre os pontos críticos de .
- Classifique os pontos críticos de quanto a sua natureza (máximo local, mínimo local ou sela).
Passo 1
Resolvendo item (a): Vamos calcular todos os pontos críticos da função.
Para isso, calcular gradiente:
Calculando :
Calculando :
Logo:
Passo 2
Encontrar pontos críticos:
Passo 3
Igualando as coordenadas:
Colocando em evidência:
Simplificando:
Pela primeira equação, temos duas possibilidades:
ou
Passo 4
Primeira possibilidade:
Substituindo na segunda equação:
De novo, temos duas opções:
ou
Isto é: ou
Temos, então, dois pontos para :
Passo 5
Segunda possibilidade:
Substituindo na segunda equação:
Temos, então, dois pontos para :
Então temos quatro pontos críticos:
Passo 6
Resolvendo o item (b): classificar os pontos críticos.
Calculando derivadas segundas:
Passo 7
Passo 8
Agora substituímos cada ponto na matriz hessiana:
Passo 9
Substituindo na matriz hessiana:
Sabemos que a soma dos autovalores é dada pela soma da diagonal (traço) da matriz:
E sabemos que o produto dos autovalores é o determinante da matriz:
Agora basta resolver a equação de segundo grau substituindo e :
Resolvendo essa equação, temos que
Como os dois autovalores são negativos, então este é um ponto de máximo local!
Passo 10
Substituindo na matriz hessiana:
Sabemos que a soma dos autovalores é dada pela soma da diagonal (traço) da matriz:
E sabemos que o produto dos autovalores é o determinante da matriz:
Agora basta resolver a equação de segundo grau substituindo e :
Resolvendo essa equação, temos que
Como os dois autovalores são positivos, então este é um ponto de mínimo local!
Passo 11
Substituindo na matriz hessiana:
Sabemos que a soma dos autovalores é dada pela soma da diagonal (traço) da matriz:
E sabemos que o produto dos autovalores é o determinante da matriz:
Agora basta resolver a equação de segundo grau substituindo e :
Resolvendo essa equação, temos que
Como temos um autovalor positivo e outro negativo, então este é um ponto de sela!
Passo 12
Substituindo na matriz hessiana:
Sabemos que a soma dos autovalores é dada pela soma da diagonal (traço) da matriz:
E sabemos que o produto dos autovalores é o determinante da matriz:
Agora basta resolver a equação de segundo grau substituindo e :
Resolvendo essa equação, temos que
Como temos um autovalor positivo e outro negativo, então este é um ponto de sela!
Resposta
- Pontos críticos:
- Classificação dos pontos críticos:
- ponto de máximo local
- ponto de mínimo local
- ponto de sela
- ponto de sela