Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis
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Máximos e Mínimos
A função possui
- Infinitos pontos de sela
- Infinitos pontos de máximo local
- Infinitos pontos de mínimo local
- Exatamente um ponto de mínimo local e um de máximo local
- Nenhuma das outras alternativas
Passo 1
Devemos começar achando os pontos críticos, primeiro vamos achar as derivadas da função
Os pontos críticos são aquele que
Da segunda equação temos
Com sendo um número inteiro.
Dessa forma na primeira equação temos
O cosseno vai ser sempre diferente de zero, logo
O ponto crítico é
Com sendo um número inteiro.
Passo 2
Agora devemos calcular o determinante de
Vamos primeiro achar as derivadas segundas
Passo 3
Substituindo os valores dos pontos críticos vamos encontrar
Passo 4
Voltando ao determinante
Como
Vamos ter
Então todos os pontos críticos são pontos de sela, e teremos infinitos pontos de sela
Resposta
Alternativa (a)
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Mostre que f x , y = x 2 + 4 y 2 - 4 x y + 2 em um número infinito de pontos críticos e que D = 0 em cada um. A seguir, mostre que f tem um mínimo local (e absoluto) em cada ponto crítico.
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