Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis
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UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, P3 – 2015.2 – Questão 5a
Seja
- Determine todos os pontos críticos de e os classifique
- Determine o máximo absoluto de no retângulo
Passo 1
Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.
Para calcularmos os pontos críticos da nossa função, temos que começar calculando as derivadas parciais.
Lembrando que elas precisam valer zero, então montando o nosso sistema:
Se a gente pegar a segunda equação, podemos fazer a relação:
Substituindo na primeira:
Beleza, mas lembra que vimos a relação
Se substituirmos cada valor de , vamos achar 1 ponto diferente. Para
Para
Logo temos os pontos
Passo 2
Show, já temos os nossos pontos críticos. Agora vamos classificar eles. Para isso, temos que montar a matriz hessiana:
Com isso, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Beleza, mas nós ainda precisamos achar as derivadas parciais de segunda ordem, então vamos lá:
Derivando:
Show, para deixar nossa fórmula mais simples, vamos substituir as derivadas parciais nela:
Agora podemos substituir os pontos críticos que achamos e determinar se é máximo, mínimo ou ponto de cela.
Passo 3
Vamos lá, primeiro, iremos juntar aqui todas as informações que já temos:
Vamos começar pelo
Opa, reparem que , logo, temos aqui um ponto de cela.
Agora vamos para o
Ok, vimos que , logo temos aqui ou um ponto mínimo ou máximo. Para determinamos isso, precisamos ver o valor de :
Opa, temos aqui que , logo é um ponto de mínimo.