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Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

UNICAMP, Cálculo 2, Prof. Rafael Leão e Marcos Jardim, P1 2014.1, 3

Encontre todos os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f x , y = x 4 + y 4 - 4 x y + 1

Passo 1

Vamos começar calculando o gradiente da função. Temos :

∇ f x , y = 4 x 3 - 4 y ,   4 y 3 - 4 x

Passo 2

Igualando a zero:

4 x 3 - 4 y ,   4 y 3 - 4 x = 0,0

Da primeira coordenada:

→ 4 x 3 - 4 y = 0

y = x 3          

Da segunda coordenada:

→ 4 y 3 - 4 x = 0

x = y 3

Então temos o par de equações:

y = x 3 x = y 3

Usando a segunda na primeira:

y = y 3 3

y 9 - y = 0

Vai ficar:

y y 8 - 1 = 0

→ y = 0 ; y = 1   ; y = - 1

Logo, os pontos críticos são:

P 1 = 0,0 ,   P 2 = 1,1 ,   P 3 = - 1 , - 1

Passo 3

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para classifica-los. Calculando as derivadas segunda, temos :

f x x = 12 x 2

f x y = - 4

f y x = - 4

f y y = 12 y 2

Então a matriz Hessiana vai ficar:

H P 0 = 12 x 0 2 - 4 - 4 12 y 0 2 = 144 x 0 2 y 0 2 - 16

Passo 4

No ponto P 1 = 0,0 , vamos ter:

H P 1 = 144 0 2 0 2 - 16 = - 16

Logo, P 1 é ponto de sela.

Fazendo o mesmo para P 2 = 1,1 , temos:

H P 2 = 144 1 2 1 2 - 16 = 128

Logo, P 2 é ponto de mínimo local pois f x x P 2 > 0 .

Finalmente, utilizando P 3 = - 1 , - 1 , fica:

H P 3 = 144 - 1 2 - 1 2 - 16 = 128

Logo, P 3 é ponto de mínimo local pois f x x P 3 > 0 .

Resposta

O ponto 0,0 é ponto de sela, e os pontos 1,1   e - 1 , - 1 pontos de mínimos locais.

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