Encontre todos os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
Passo 1
Vamos começar calculando o gradiente da função. Temos :
Passo 2
Igualando a zero:
Da primeira coordenada:
Da segunda coordenada:
Então temos o par de equações:
Usando a segunda na primeira:
Vai ficar:
Logo, os pontos críticos são:
Passo 3
Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para classifica-los. Calculando as derivadas segunda, temos :
Então a matriz Hessiana vai ficar:
Passo 4
No ponto , vamos ter:
Logo, é ponto de sela.
Fazendo o mesmo para , temos:
Logo, é ponto de mínimo local pois .
Finalmente, utilizando , fica:
Logo, é ponto de mínimo local pois .
Resposta
O ponto é ponto de sela, e os pontos e pontos de mínimos locais.