Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis
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USP – Cálculo 2 - P2-IME - 2021.2 - Questão 4
Considere dada por . Assinale a afirmação verdadeira:
- possui exatamente um ponto de sela e três pontos de máximo local
- possui exatamente um ponto de sela e três pontos de mínimo local
- não possui pontos críticos
- possui exatamente um ponto mínimo local e três pontos de sela
- possui exatamente um ponto de máximo local e três pontos de sela
Passo 1
Fala povo, tudo certo?
Você se lembra como podemos verificar pontos de extremos numa função multivariável? Quando a gente tinha uma função de uma única variável por exemplo, como a gente fazia?
Derivava a função e iguala a zero, certo? Com multivariável é a mesma coisa, mas aí usando uma notação mais sofisticada chamada gradiente. Em outras palavras, para calcular os extremos de uma função com várias variáveis, basta que o gradiente dela seja nulo:
E o que é gradiente mesmo? É derivar a função em cada variável que ela tem. Como assim?
Depois vamos precisar encontrar os pontos que zeram esse gradiente e por fim falar de matriz Hessiana.
Mas fica tranquilo e não se assusta! Vamos ver isso mais pra frente pra irmos com calma!
Passo 2
Vamos então calcular nosso gradiente!
Por definição vimos que essas derivadas precisam ser zero!
Note que podemos zerar a primeira equação fazendo os pontos ou . Vamos chamar então esses caras de ponto e , respectivamente.
De igual maneira, vamos avaliar quais são os pontos que podem zerar nossa segunda equação ali em cima.
Passo 3
Agora a gente precisa classificar esses pontos aí. Pra fazer isso, precisamos da matriz Hessiana!!
Ou seja, vamos precisar das derivadas segundas da nossa e também de suas derivadas cruzadas!
Pras derivadas segunda, eu já vou macetar! Haha
Vou pegar as derivadas primeira que já fizemos e derivar de novo!
Agora as derivas cruzadas:
Derivar primeiro em e depois em ! Ou seja, temos já a derivada em , agora vamos derivar em
Analogamente, podemos fazer
Logo, nossa matriz Hessiana fica:
Passo 4
Com a matriz Hessiana montada, vamos calcular o determinante dela! E como se calcula um determinante mesmo? Para uma matriz , temos que o determinante é calculado por:
Logo, seguindo a ideia na matriz Hessiana!
Passo 5
Vamos avaliar o determinante nos pontos e .
Quando o determinante da Hessiana é menor que zero, isso indica um ponto de sela. Logo, temos 3 pontos de sela.
Quando a Hessiana é maior que zero não podemos confirmar nada, a não ser que isso não é um ponto de sela. Então pra concluir sobre esse ponto precisamos avaliar , ou seja, precisamos verificar qual é o valor da derivada segunda em relação a no ponto 4.
Avaliado no ponto
Ou seja, como temos a derivada segunda neste ponto positivo, temos um ponto de mínimo local.
Logo, temos pontos de sela e ponto de mínimo local.
Letra (d) nossa resposta correta!