Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis

Ver Teoria
Exercício 612345789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596

Enunciado

Máximos e Mínimos

Considere a função

f x , y = 4 x y - x 4 - y 4

O ponto 1,1

  1. É de máximo local
  2. É de mínimo global
  3. É de mínimo local
  4. É de sela
  5. Não é um ponto critico

Passo 1

Devemos primeiro ver se esse ponto é um ponto crítico

f x = - 4 x 3 + 4 y = 0

f y = 4 x - 4 y 3 = 0

Como as duas derivadas é zero ele é um ponto crítico.

Passo 2

Devemos calcular o determinante

H 1,1 = f x x 1,1 f x y 1,1 f y x 1,1 f y y 1,1

Vamos primeiro achar as derivadas segundas

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x - 4 x 3 + 4 y = - 12 x 2

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 4 x - 4 y 3 = - 12 y 2

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 4 x - 4 y 3 = 4

Passo 3

Substituindo os valores do ponto vamos encontrar

f x x = - 12

f y y = - 12

f x y = 4

Passo 4

Agora devemos calcular o determinante de

H 1,1 = - 12 4 4 - 12 = 12 ⋅ 12 - 4 ⋅ 4 = 128

Como

H 1,1 > 0

E

f x x 1,1 < 0

Ele é um ponto de máximo local

Resposta

Alternativa (a)

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que f x , y = x 2 + 4 y 2 - 4 x y + 2 em um número infinito de pontos críticos e que D = 0 em cada um. A seguir, mostre que f tem um mínimo local (e absoluto) em cada ponto crítico.
14.17. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o po
1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f x , y = x 3 - 3 x 2 y + 27 y
Utilize um gráfico e/ou curvas de nível para estimar os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Em seguida, use o cálculo para achar esses valores precisamente. f x , y = x y e -