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Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, PF 2015.2, questão 2.

Seja

f x , y = a x 2 + x y + a y 2

Onde a ∈ R . Então ( 0,0 ) é um ponto de máximo local se:

  1. - 1 2 < a < 0
  2. 0 < a < 1 2
  3. a > 1 2
  4. a < - 1 2

Passo 1

Opa, falou de ponto de máximo local, vamos usar o teste da derivada segunda.

Calcular gradiente:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

⇒ ∇ f x , y = 2 a x + y ,   2 a y + x

Passo 2

Verificando se ( 0,0 ) é um ponto crítico:

∇ f ( 0,0 ) = 0 →

⇒ 2 a . 0 + 0 ,   2 a . 0 + ( 0 ) = 0,0

Beleza então, ( 0,0 ) é de fato um ponto crítico.

Passo 3

Agora, para ele ser um ponto de máximo local temos que

H P 0 = f x x 0,0 f x y 0,0 f y x 0,0 f y y 0,0 > 0

E

f x x 0,0 < 0

Vamos então calcular as derivadas segundas:

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 2 a x + y = 2 a

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 2 a y + x = 2 a

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 2 a y + x = 1

Passo 4

Calculando essas derivadas no ponto P 0 = 0,0 :

f x x P 0 = 2 a

f y y P 0 = 2 a

f x y P 0 = 1

Passo 5

Agora precisamos fazer H P 0 ser maior do que zero:

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0 > 0

⇒ H P 0 = 2 a 1 1 2 a

⇒ H P 0 = 2 a 2 a - 1 1 > 0

⇒ 4 a 2 > 1

Então:

a 2 > 1 4 → a > 1 2

Vamos ter:

a > 1 2

Ou

a < - 1 2

Passo 6

Beleza, mas ainda temos a condição de que

f x x P 0 < 0

Assim

f x x P 0 = 2 a < 0

a < 0

Logo, dentre as duas opções de valores que achamos para a , a única que se encaixa nessa condição é

a < - 1 2

Resposta

Letra d.

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