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Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis

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Exercício 213456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596

Enunciado

Seja f x , y = 1 - x 2 + 4 x y - y 2 . Identifique e classifique o(s) ponto(s) crítico(s) de f .

Passo 1

Calcular gradiente:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

⇒ ∇ f x , y = - 2 x + 4 y ,   4 x - 2 y

Passo 2

Encontrar pontos críticos:

∇ f = 0 →

⇒ - 2 x + 4 y ,   4 x - 2 y = 0,0

Passo 3

Igualando as coordenadas:

- 2 x + 4 y = 0   4 x - 2 y = 0

Dividindo tudo por 2:

- x + 2 y = 0   2 x - y = 0

Pela segunda equação:

y = 2 x

Substituindo na primeira equação:

- x + 2 2 x = 0

⇒ x = 0

Pela segunda equação novamente:

y = 0

Então:

x = 0   y = 0

Então o único ponto crítico é 0,0 .

Passo 4

Vamos analisar que tipo de ponto crítico é este:

P 0 = 0,0

Calculando derivadas segundas:

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x - 2 x + 4 y = - 2

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 4 x - 2 y = - 2

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 4 x - 2 y = 4

Passo 5

Calculando essas derivadas no ponto P 0 = 0,0 :

f x x P 0 = - 2

f y y P 0 = - 2

f x y P 0 = 4

Passo 6

Calculando H P 0 :

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

⇒ H P 0 = - 2 4 4 - 2

⇒ H P 0 = - 2 - 2 - 4 4

⇒ H P 0 = 4 - 16

⇒ H P 0 = - 12

Como H P 0 < 0 , então este é um ponto de sela.

Resposta

A função tem um ponto de sela em 0,0 .

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