Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis
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Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
b) Se uma função com derivadas parciais de segunda ordem contínuas tal que . Se , então é um ponto de sela de .
Passo 1
Ele diz que é um ponto crítico de (as derivadas parciais são iguais a zero) e quer saber se é um ponto de sela para . Isso é o mesmo que dizer que para :
Que é o mesmo que:
Então o que gente precisa verificar é se isso é verdade com base nas informações que ele deu.
Passo 2
Ele diz que:
E é a primeira parcela da nossa inequação:
Ele diz que o primeiro termo dessa diferença é negativo. Vamos guardar essa informação.
Passo 3
Agora repara que ele diz que as derivadas de segunda ordem são continuas nesse ponto. Isso é o mesmo que dizer que as derivadas parciais mistas são iguais:
E com isso, nossa inequação fica:
Passo 4
A gente sabe que o primeiro termo dessa inequação é negativo e segundo vai ser sempre positivo porque é um termo ao quadrado. Logo a gente tem algo assim:
número negativo número positivo
E isso é verdade porque um número negativo menos um número positivo fica ainda menor. Logo essa afirmativa está correta.
Resposta
Verdadeira