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Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

Cálculo – Stewart – Volume 2 – Capítulo 14 – Seção 7 – Exercício 10

(Capítulo 14.7 – Exercício 10) Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.

f x , y = x y   ( 1 - x - y )

Passo 1

Fala aí! Nosso enunciado pede para acharmos os locais máximos e mínimos da função que foi dada pra gente… Bom, pra fazer isso, vamos encontrar primeiro os pontos críticos e depois fazer o teste da segunda derivada, beleza? Vamos juntos que vai dar certo!

Passo 2

Nossa função é essa aqui:

f x , y = x y   ( 1 - x - y )

f x , y = x y - x 2 y - x y 2

Fazendo as derivadas parciais de primeira ordem, vamos ter:

f x = y - 2 x y - y 2

f y = x - x 2 - 2 x y

Passo 3

Temos que lembrar que para encontrar os pontos críticos, precisamos fazer o seguinte:

f x = f y = 0

y - 2 x y - y 2 =   x - x 2 - 2 x y = 0

Separando em duas equações, vamos ter na primeira:

y - 2 x y - y 2 = 0

y - y 2 = 2 x y

Isolando o x , vamos ficar com:

x = y - y 2 2 y

x = 1 2 ( 1 - y )

Agora vamos substituir esse valor de x na segunda equação, ok? Teremos:

1 2 ( 1 - y ) - 1 2 ( 1 - y ) 2 - 2   .   1 2 ( 1 - y ) .   y = 0

1 2 1 - y - 1 4 1 - y 2 - 2   ⋅   1 2 1 - y .   y = 0

1 2 1 - y - 1 4 . 1 - 2 y + y 2 - 1 - y .   y = 0

1 2 - y 2 - 1 4 + 2 y 4 - y 2 4 - y + y 2 = 0

1 2 - y 2 - 1 4 + y 2 - y 2 4 - y + y 2 = 0

Reorganizando ficamos com:

1 2 - 1 4 - y 2 + y 2 - y - y 2 4 + y 2 = 0

1 4 - y + 3 y 2 4 = 0

E se a gente multiplicar por 4 , nossa equação vai ficar mais arrumadinha assim olha:

3 y 2 - 4 y + 1 = 0

Agora podemos encontrar o valor de y resolvendo a equação de segundo grau, vamos lá!

y = - - 4   ±   - 4 2 -   4   .   3   .   1 2   .   3

y = 4   ±   16 - 12 6

y = 4   ±   4 6

y = 4   ±   2 6

Então nossos dois valores para y são y = 1 e y = 1 3

Passo 4

Que beleza! Agora vamos achar o valor de x correspondente para cada y , beleza?

Sendo:

x = 1 2 ( 1 - y )

x 1 = 1 2 1 - 1 = 0

x 2 = 1 2 1 - 1 3 = 1 3

Assim, os nossos pontos críticos são:

0 ,   1

1 3 , 1 3

Show! Primeira parte ok!

Passo 5

Agora precisamos fazer o teste da segunda derivada… Para isso vamos achar as segundas derivadas:

f x x = - 2 y

f y y = - 2 x

f x y = f y x = 1 - 2 x - 2 y

Agora podemos encontrar o determinante hessiano, ele será dado por:

D = f x x .   f x y .   f y x .   f y y  

D = - 2 y   .   1 - 2 x - 2 y   .   1 - 2 x - 2 y   .   - 2 x  

D x , y = 4 x y - 1 - 2 x - 2 y 2

Estamos quase lá!

Passo 6

Vamos então substituir os pontos críticos que achamos… Primeiro para ( 0 ,   1 ) :

D 0,1 = 4   ⋅   0   ⋅   1 - 1 - 2   ⋅   0 - 2   ⋅   1 2

D 0,1 =   - 1 < 0

Acabamos de encontrar o ponto de sela!

Já para o ponto 1 3 , 1 3 , vamos ter:

D 1 3 ,   1 3 = 4   ⋅   1 3 ⋅ 1 3 - 1 - 2   ⋅   1 3 - 2   ⋅   1 3 2

D 1 3 ,   1 3 = 4 9 - - 1 3 2

D 1 3 ,   1 3 = 4 9 - 1 9

D 1 3 ,   1 3 = 3 9

D 1 3 ,   1 3 = 1 3 > 0

Além disso,

f x x 1 3 ,   1 3 =   - 2 1 3 = - 2 3 < 0

Encontramos um máximo local!

Arrasamos!

Resposta

0 ,   1 é o ponto de sela.

1 3 , 1 3 é o ponto máximo local.

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