Classifique os pontos críticos da função

Só pra matar logo essas parte de derivadas, vamos encontrar as segundas também?

Derivando a em relação a de novo, teremos:

Derivando a em relação a de novo, teremos:

Pegando qualquer uma, ou , e derivando em relação a outra variável, teremos:

Ok, agora temos que pegar as primeira derivadas e igualar a , certo? E depois pegaremos os pontos que encontrarmos e jogaremos no determinante das segundas derivadas.

Pegando e igualando a , teremos:

Pegando e igualando a , teremos:

Aí agora é só resolver o sisteminha formado por essas duas equações:

Se pegarmos a relação da segunda equação, que diz que e jogarmos na primeira, teremos:

Logo, ou , ou , pois apenas e ! Fica ligado(a) nisso, por que se tivéssemos cortado com , ficando , encontraríamos apenas como resposta –o que não é verdade, bastando substituir na equação lá de cima!

Jogando esses valores encontrado para em qualquer uma das equações, encontramos os possíveis valores de :

Se

Se ,

Aí você chega e fala, mas Patusco, não é mais ou menos ? Pois é, algebricamente falando, realmente seria , mas a parada é que o deve valer tanto para a equação , quanto para . De fato, na primeira, seria uma opção para o , mas, na segunda, se colocarmos que , estaríamos cometendo um erro besta XD

Agora é só classificar os pontos!

Temos, quando e quando , então nossos pontos são e .

Lembrando do determiante da Hessiana,

E lembrando os valores encontrados para as segundas derivadas parciais, , , .

Então, para o ponto , teremos , , e o seguinte determinante:

Logo, o ponto é um ponto de sela.

Para o ponto , temos , e o seguinte determinante:

Opa! Esse deu maior do que zero! Como para o ponto o valor de é maior do que zero, temos um ponto de mínimo!