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Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

Máximos e Mínimos

Determine e classifique o(s) ponto(s) crítico(s) da função

f x , y = x y + 2 x - ln ⁡ x 2 y .

Passo 1

Assim que a gente vir essas palavrinhas mágicas, “classifique os pontos críticos”, o nosso reflexo tem que ser: calcular as derivadas parciais, igualá-las a 0 e depois mandar ver no teste da derivada segunda! Então vamos fazer isso, começando pelas derivadas parciais!

Usando a regra da cadeia:

∂ f ∂ x x , y = y + 2 - 1 x 2 y ∙ 2 x y = y + 2 - 2 x

∂ f ∂ y x , y = x + 0 - 1 x 2 y ∙ x 2 = x - 1 y

Passo 2

Show! Agora vamos igualar essas derivadas a 0:

y + 2 - 2 x = 0 x - 1 y = 0

Da segunda equação, tiramos

x = 1 y

Substituindo na primeira, vai dar:

y + 2 - 2 1 y = y + 2 - 2 y = 2 - y = 0

⇒ y = 2

⇒ x = 1 2

Beleza, então f só tem um ponto crítico, o ponto 1 2 , 2 .

Passo 3

Agora só resta classificar esse ponto crítico, usando o teste da derivada segunda, então vamos calcular as derivadas segundas! Lembrando que f x x , y = y + 2 - 2 x e f y x , y = x - 1 y . Assim,

f x x x , y = 0 + 0 - 2 . - 1 x 2 = 2 x 2

⇒ f x x 1 2 , 2 = 2 1 4 = 8

Também temos:

f y y x , y = 0 - - 1 y 2 = 1 y 2

⇒ f y y 1 2 , 2 = 1 2 2 = 1 4

E pras derivadas mistas:

f x y x , y = f y x x , y = 1

Passo 4

Pronto! Agora podemos aplicar o teste da derivada segunda :) O nosso determinante vai ser:

H 1 2 , 2 = f x x 1 2 , 2 f x y 1 2 , 2 f y x 1 2 , 2 f y y 1 2 , 2

H 1 2 , 2 = 8 1 1 1 / 4   = 8 . 1 4 - 1.1 = 2 - 1 = 1 > 0

Lembrando: como H 1 2 , 2 > 0 o ponto 1 2 , 2 não é ponto de sela. Ele pode ser um ponto de máximo ou mínimo local, dependendo do sinal de f x x 1 2 , 2 .

Mas f x x 1 2 , 2 = 8 > 0 , portanto o ponto 1 2 , 2 é um ponto de mínimo local.

Resposta

f tem 1 ponto crítico: o ponto de mínimo local 1 2 , 2 .

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