Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis
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UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 5 - Pontos Críticos, Máximos e Mínimos, Multiplicadores de Lagrange. Questão 1c.
1 - Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo relacionadas:
c) ;
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Partiu definir os pontos críticos da função ??
Bem... foi dada essa função e além de determinar seus pontos críticos, devemos classifica-los como máximos locais ou globais ou mínimos locais ou globais.
Ok, mas sabe como podemos começar?? 🤔
Existe uma técnica que usamos para encontrar os pontos críticos. Esta técnica consiste em encontrar o vetor gradiente de e iguala-lo a um vetor nulo, por exemplo
Com isso, vamos obter um sistema e vamos determinar valores para e , os quais serão as coordenadas dos nossos pontos críticos.
Com essa explicação, podemos concluir que os pontos críticos, são os pontos onde a tangente possui coeficiente angular igual a , ou seja, onde a derivada é .
Bora lá!
Passo 2
Primeiro a gente calcula o gradiente de .
Calculando a derivada parcial de com relação a , temos
Por derivada de polinômios, derrubamos o expoente e subtraímos da potência. Lembrando que como estamos derivando com relação a , se comporta como uma constante.
Agora calculamos a derivada parcial de com relação a
Novamente por derivada de polinômios, sendo que dessa vez se comporta como uma constante.
Calculamos as derivadas parciais de , vamos continuar nosso probleminha.
Passo 3
Agora devemos montar nosso gradiente e igualar a um vetor nulo
Escrevendo isso na forma de sistema, temos
A partir desse sistema, podemos definir os valores de calculando as raízes da primeira equação e vemos que
Vamos calcular
Com isso, encontramos os valores de
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Encontramos os valores de e , então os pontos, serão as combinações das coordenadas em e em , veja só
Com os pontos em mãos, falta classifica-los como máximos ou mínimos
Pra isso, vamos calcular , , e . Com esses valores calculamos o determinante da matriz
Ou simplesmente
Se encontrarmos e , o ponto é classificado como de mínimo
Já se encontrarmos e , o ponto é classificado como ponto de máximo
E se , o ponto é classificado como ponto sela ou ponto de inflexão.
Bora calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Por derivada de polinômios, temos
Bacana, não é?
Passo 5
Agora substituímos as coordenadas dos pontos nas derivadas parciais e calculamos !
Para o ponto, substituindo esse ponto nas derivadas de segunda ordem, temos
Calculando , temos
Analisando os resultados, vemos que e , então o ponto é classificado como um ponto de mínimo e como a função é um polinômio de grau 3, ele assume valores e em sua imagem, logo, o ponto é um mínimo local!
Analisando o ponto , vamos substituir suas coordenadas na matriz para ver o que acontece.
Com isso será
Como vimos antes, se o ponto é um ponto sela!
Resumindo, é um mínimo local e é um ponto sela!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
é um mínimo local!
é um ponto sela!