Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis
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Máximos e Mínimos
Seja uma função com derivadas parciais de segunda ordem contínuas no ponto . Assuma que é um ponto crítico de e que , . Então é um ponto de mínimo local de se:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) a informação é insuficiente
Passo 1
Basicamente, o que ele quer nessa questão é que a gente faça um teste da derivada segunda.
Queremos que o ponto seja um ponto de mínimo local, logo devemos ter:
Como , só temos que nos preocupar com a condição .
Lembrando que
E como as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas em , temos:
Então agora é só substituir os valores do enunciado na fórmula do determinante!
Queremos logo:
Resposta
Alternativa (a)
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Mostre que f x , y = x 2 + 4 y 2 - 4 x y + 2 em um número infinito de pontos críticos e que D = 0 em cada um. A seguir, mostre que f tem um mínimo local (e absoluto) em cada ponto crítico.
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