Seja f(x, y) uma função com derivadas parciais de segunda ordem contínuas no ponto (2,1) . Assuma que (2,1) é um ponto crítico de f e que f_xx(2,1) = 1 , f_xy(2,1) = 2 . Então (2,1) é um ponto de mínimo local de f se:

(a) f_yy > 4

(b) f_{yy} < 4

(c) f_{yy} < 2

(d) f_{yy} > 2

(e) a informação é insuficiente

Passo 1

Basicamente, o que ele quer nessa questão é que a gente faça um teste da derivada segunda.

Queremos que o ponto ( 2,1 ) seja um ponto de mínimo local, logo devemos ter:

H 2,1 > 0     e     f x x ( 2,1 ) > 0

Como f x x 2,1 = 1 > 0 , só temos que nos preocupar com a condição H 2,1 > 0 .

Lembrando que

H 2,1 = f x x ( 2,1 ) f x y ( 2,1 ) f y x ( 2,1 ) f y y ( 2,1 )

H 2,1 = f x x 2,1 . f y y 2,1 - f x y 2,1 . f y x ( 2,1 )

E como as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas em ( 2,1 ) , temos:

f x y 2,1 = f y x ( 2,1 )

Então agora é só substituir os valores do enunciado na fórmula do determinante!

H 2,1 = 1 . f y y 2,1 - 2.2 = f y y 2,1 - 4

Queremos H 2,1 > 0 logo:

f y y 2,1 - 4 > 0

f y y 2,1 > 4

Resposta

Alternativa (a)

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