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Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis

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Exercício 491234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647485051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596

Enunciado

Cálculo – Stewart – Volume 2 – Capítulo 14 – Seção 7 – Exercício 7

(Capítulo 14.7 – Exercício 7) Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.

f x , y = ( x - y ) ( 1 - x y )

Passo 1

E aeee gente, vamos lá?

A questão pede para acharmos os máximos e mínimos locais da função dada. Para isso, vamos encontrar primeiro os pontos críticos e depois fazer o teste da segunda derivada, fechou?

Passo 2

Nesse problema, nossa função é

f x , y = x - x 2 y - y + x y 2

Calculando as derivadas parciais de primeira ordem:

f x = 1 - 2 x y + y 2

f y = - x 2 - 1 + 2 x y

Os pontos críticos são obtidos fazendo f x = f y = 0 , então

1 - 2 x y + y 2 = 0

2 x y = 1 + y 2

x = 1 2 y + y 2

Substituindo isso na expressão f y = 0 :

- 1 2 y + y 2 2 - 1 + 2 1 2 y + y 2 y = 0

Assim,

- 1 4 y 2 - 1 2 - y 2 4 - 1 + 1 + y 2 = 0

3 y 2 4 - 1 2 - 1 4 y 2 = 0

Multiplicando a equação por y 2 :

3 y 4 4 - y 2 2 - 1 4 = 0

3 y 4 - 2 y 2 - 1 = 0

Passo 3

Temos então uma equação biquadrada que vamos resolver fazendo y 2 = t :

3 t 2 - 2 t - 1 = 0

t = 2 ± 4 + 12 6

t = 2 ± 4 6

Encontramos t = - 1 3 e t = 1

Como y 2 = t , não vamos utilizar o t = - 1 3 , ok? Porque algo ao quadrado não pode ser negativo sacou? Então usando t = 1 :

y 2 = 1

y = ± 1

Como

x = 1 2 y + y 2 ,

quando y = - 1 , temos x = - 1 , enquanto para y = 1 , obtemos x = 1 . Assim, os pontos críticos de f são

- 1 ,   - 1           e             ( 1 ,   1 )

Passo 4

Para o teste da segunda derivada, vamos calcular as segundas derivadas:

f x x = - 2 y

f y y = 2 x

f x y = f y x = - 2 x + 2 y

Assim, o determinante hessiano será

D = f x x f x y f y x f y y = - 2 y - 2 x + 2 y - 2 x + 2 y 2 x

Logo,

D = - 4 x y - 4 x 2 + 4 y 2 - 8 x y = - 4 x 2 - 4 y 2 + 4 x y

Tanto para x = y = 1 como para x = y = - 1 :

D = - 4 - 4 + 4 = - 4 < 0

Como D < 0 , esses dois pontos são pontos de sela da função!

Resposta

- 1 ,   - 1   e     1 ,   1     →   p o n t o s   d e   s e l a

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