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Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis

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Exercício 881234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878990919293949596

Enunciado

Determine e classifique os pontos críticos de

f x ,   y = 2 x 3 + 6 x y 2 - 3 y 3 - 150 x .

Passo 1

Assim como no cálculo de uma variável apenas, a gente encontrava os pontos críticos fazendo a derivada ser igual a zero, aqui esse conceito só ganha uma dimensão a mais!:D

Ou seja, devemos primeiro analisar as derivadas parciais dessa função e iguala-las a zero!!! Então vamos nessa?

Passo 2

Vamos então calcular essas derivadas parciais:

Primeiro em relação a x

∂ f ∂ x = 2 ∙ 3 x 2 + 6 y 2 - 0 - 150   ⇒

∂ f ∂ x = 6 x 2 + 6 y 2 - 150

Agora em relação a y

∂ f ∂ y = 0 + 6 ∙ 2 x y - 3 ∙ 3 y 2 - 0 ⇒

∂ f ∂ y = 12 x y - 9 y 2

Igualando as derivadas a 0 , determinaremos

6 x 2 + 6 y 2 - 150 = 0 12 x y - 9 y 2 = 0

O sistema que temos que resolver para obter os x e o y do nosso problema!:)

Passo 3

Então beleza, sabemos o que temos que fazer, bora colocar a mão na massa?

Vamos nomear as duas equações do sistema para não nos perdermos, ok?

I       6 x 2 + 6 y 2 - 150 = 0 I I                         12 x y - 9 y 2 = 0

Repare que a segunda equação do sistema I I é bem bonitinha, certo? A gente pode, por exemplo, pegar aquele y que é comum aos dois termos e colocar em evidência, dessa forma:

12 x y - 9 y 2 = 0           ⇒

y 12 x - 9 y = 0

Opa! Esse produto aí só pode ser zero se um desses caras for zero, ou seja

1 º                                                                   y = 0

2 º                                       12 x - 9 y = 0

Se a gente pegar a primeira condição e substituir na equação ( I )

y = 0         →           6 x 2 + 6 y 2 - 150 = 0               ⇒    

6 x 2 + 0 - 150 = 0         ⇒

6 x 2 = 150

Simplificando isolando x ...

x 2 = 150 6 = 25

x = ± 25

x = ± 5

E aqui, já obtivemos dois pontos críticos: ( + 5 ,   0 ) e ( - 5 ,   0 )

Passo 4

Analisando a segunda condição 12 x - 9 y = 0 , isolando y em função de x passando esse - 9 y pro outro lado...

9 y = 12 x     ⇒

y = 12 x 9     ⇒

y = 4 x 3

E jogando na equação ( I ) novamente

6 x 2 + 6 y 2 - 150 = 0           ⇒  

Substituindo...

6 x 2 + 6 4 x 3 2 - 150 = 0           ⇒

Resolvendo esse quadrado

6 x 2 + 6 16 x 2 9 - 150 = 0             ⇒             6 x 2 + 2 16 x 2 3 - 150 = 0           ⇒

Simplificando

6 x 2 + 32 x 2 3 - 150 = 0           ⇒

50 x 2 3 = 150           ⇒

Por fim isolando x vamos obter....

x 2 = 150 ∙ 3 50           ⇒

x 2 = 3 ∙ 3 = 9           ⇒

x = ± 3

Ok, encontramos o x de outros dois pontos críticos para a gente obter o y , basta a gente lembrar

y = 4 x 3

Logo, para x = 3

y = 4 ∙ 3 3 = 4

E para x = - 3

y = 4 ∙ - 3 3 = - 4

Portanto obtivemos mais dois pontos críticos aqui: 3 ,   4 e - 3 ,   - 4

Passo 5

Logo, teremos que analisar os quatro pontos críticos que determinamos agora:

( 5 ,   0 ) , ( - 5 ,   0 ) , ( 3 ,   4 ) e - 3 ,   - 4

Para a gente fazer isso a gente vai analisar pelo teste da segunda derivada! Se lembra?

D = f x x f y y - f x y 2

Onde essas derivadas aí são as derivadas parciais de segunda ordem!

Passo 6

Então vamos calcular essas derivadas aí. A gente sabe que

∂ f ∂ x = 6 x 2 + 6 y 2 - 150

Derivando novamente em relação a x

f x x = 6 ∙ 2 x     ⇒

f x x = 12 x                    

A derivada primeira em relação a y já calculada foi

∂ f ∂ y = 12 x y - 9 y 2

Então, derivando agora essa derivada em relação à y novamente

f y y = 12 x - 9 ∙ 2 y       ⇒           f y y = 12 x - 18 y

Agora derivando ∂ f ∂ y com relação à x

∂ ∂ x ∂ f ∂ y = f x y = 12 y

Jogando tudo na equação do teste da segunda derivada

D = f x x f y y - f x y 2         ⇒             D = 12 x 12 x - 18 y - 12 y 2

D = 144 x 2 - 216 x y - 144 y 2

Passo 7

Bem, aplicando cada um dos quatro pontos dentro de D , teremos

  1. Primeiro

    2. D 5 ,   0 = 144 ∙ 5 2 - 216 ∙ 5 ∙ 0 - 144 ∙ 0 2       ⇒  

    simplificando

        D 5 ,   0 = 144 ∙ 5 2 > 0

    Não precisa de calcular, pois a única coisa que nos interessa é ele ser maior que 0

  2. Jogando o segundo

    3. D - 5 ,   0 = 144 ∙ - 5 2 - 216 ∙ - 5 ∙ 0 - 144 ∙ 0 2            

      ⇒             D - 5 ,   0 = 144 ∙ 5 2 > 0

  3. Terceiro

    4. D 3 ,   4 = 144 ∙ 3 2 - 216 ∙ 3 ∙ 4 - 144 ∙ 4 2     ⇒      

    Como 144 ∙ 4 2 > 144 ∙ 3 2 e ele está negativo somando com - 216 ∙ 3 ∙ 4 , concluímos

    D 3 ,   4 < 0

    Portanto 3 ,   4 →     p o n t o   d e   s e l a

  4. Quarto e último ponto

D - 3 , -   4 = 144 ∙ ( - 3 ) 2 - 216 ∙ - 3 ∙ ( - 4 ) - 144 ∙ - 4 2           ⇒

D - 3 , - 4 = 144 ∙ 3 2 - 216 ∙ 3 ∙ 4 - 144 ∙ 4 2

A mesma coisa do terceiro, logo

D - 3 , - 4 < 0

- 3 ,   - 4 → p o n t o   d e   s e l a

Passo 8

Como os dois primeiros foi os únicos que deram um D > 0 , eles são os únicos que são alguma coisa e para ver o que são, vamos ver o sinal de f x x = 12 x :

x = 5               ⇒             f x x = 12 ∙ 5 > 0

Logo ( 5 ,   0 ) é um ponto de mínimo local.

Para

x = - 5               ⇒             f x x = 12 ∙ - 5 < 0

( - 5 ,   0 ) é um ponto de máximo local.

Resposta

5 ,   0           ⇒             M í n i m o   l o c a l

- 5 ,   0           ⇒           M á x i m o   l o c a l

3 ,   4           ⇒             P o n t o   d e   S e l a

- 3 ,   - 4           ⇒             P o n t o   d e   S e l a

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