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Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis

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Exercício 941234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939596

Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, P3 – 2015.2 – Questão 5b

Seja

f x , y = x 3 - 12 x y + 8 y ³

  1. Determine todos os pontos críticos de f e os classifique
  2. Determine o máximo absoluto de f no retângulo

R = ( x , y ) ∈ R 2 | - 1 ≤ x ≤ 1 ,   - 1 ≤ y ≤ 1

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para calcularmos os pontos críticos da nossa função, temos que começar calculando as derivadas parciais.

f x , y = x 3 - 12 x y + 8 y ³

d x = 3 x 2 - 12 y

d y = - 12 x + 24 y ²

Lembrando que elas precisam valer zero, então montando o nosso sistema:

d f d x x , y = 3 x 2 - 12 y = 0 d f d y x , y = - 12 x + 24 y 2 = 0

Se a gente pegar a segunda equação, podemos fazer a relação:

24 y 2 = 12 x

2 y 2 = x

Substituindo na primeira:

3 ( 4 y 4 ) - 12 y = 0

12 y 4 - 12 y = 0

12 y ( y 3 - 1 ) = 0

y = 0   o u   y = 1

Beleza, mas lembra que vimos a relação

x = 2 y ²

Se substituirmos cada valor de y , vamos achar 1 ponto diferente. Para y = 0

x = 2.0 2 = 0

Para y = 1

x = 2.1 2 = 2

Logo temos os pontos 0,0   e   ( 2,1 ) .

Porém, reparem que temos uma restrição

R = ( x , y ) ∈ R 2 | - 1 ≤ x ≤ 1 ,   - 1 ≤ y ≤ 1

Então o nosso segundo ponto está fora da região delimitada, logo vamos guardar apenas o ponto ( 0,0 ) .

Passo 2

Ok, agora já temos um ponto crítico, precisamos verificar as fronteiras. Reparem que a nossa região se trata de um quadrado.

R = ( x , y ) ∈ R 2 | - 1 ≤ x ≤ 1 ,   - 1 ≤ y ≤ 1

Então vamos verificar os pontos no entorno desse quadrado. Como o nosso quadrado tem 4 lados, vamos precisar verificar todos.

Começando pelo lado esquerdo. Vamos ter x = - 1   e   - 1 ≤ y ≤ 1

Usando os valores na função:

f x , y = x 3 - 12 x y + 8 y ³

f - 1 , y = ( - 1 ) 3 - 12 ( - 1 ) y + 8 y ³

f - 1 , y = - 1 + 12 y + 8 y ³

Agora vamos derivar:

f ' - 1 , y = 12 + 24 y ²

E igualamos a zero para achar os pontos críticos:

f ' - 1 , y = 12 + 24 y 2 = 0

Reparem que nenhum valor de y satisfaz a relação. Então aqui nós não temos ponto crítico.

Passo 3

Vamos continuar calculando o lado direito. Vamos ter x = 1   e   - 1 ≤ y ≤ 1

Usando os valores na função:

f x , y = x 3 - 12 x y + 8 y ³

f 1 , y = ( 1 ) 3 - 12 ( 1 ) y + 8 y ³

f 1 , y = 1 - 12 y + 8 y ³

Agora vamos derivar:

f ' 1 , y = - 12 + 24 y ²

E igualamos a zero para achar os pontos críticos:

f ' - 1 , y = - 12 + 24 y 2 = 0

24 y 2 = 12

y 2 = 1 2

y = ± 1 2

Opa, achamos mais dois pontos:

1 , - 1 2

1 , 1 2

Passo 4

Vamos continuar calculando o lado de cima. Vamos ter - 1 ≤ x ≤ 1   e   y = 1

Usando os valores na função:

f x , y = x 3 - 12 x y + 8 y ³

f x , 1 = x 3 - 12 x ( 1 ) + 8 ( 1 ) ³

f x , 1 = x 3 - 12 x + 24

Agora vamos derivar:

f ' x , 1 = 3 x ² - 12

E igualamos a zero para achar os pontos críticos:

f ' x , 1 = 3 x 2 - 12 = 0

3 x 2 = 12

x ² = 4

x = ± 2

Opa, apesar de termos achado mais dois pontos, os valores de x encontrados se encontram fora da região delimitada. Então eles não contam.

Passo 5

Vamos para o último, o lado de baixo. Vamos ter - 1 ≤ x ≤ 1   e   y = - 1

Usando os valores na função:

f x , y = x 3 - 12 x y + 8 y ³

f x , - 1 = x 3 - 12 x ( - 1 ) + 8 ( - 1 ) ³

f x , - 1 = x 3 + 12 x - 24

Agora vamos derivar:

f ' x , 1 = 3 x 2 + 12

E igualamos a zero para achar os pontos críticos:

f ' x , 1 = 3 x 2 + 12 = 0

3 x 2 = - 12

x 2 = - 4

Reparem que não temos nenhum valor de x que satisfaça a relação de cima. Então também não achamos nenhum ponto crítico nesse lado.

Passo 6

Show, agora vamos juntar aqui todos os pontos que encontramos:

P 1 = ( 0,0 )

P 2 = 1 , - 1 2

P 3 = 1 , 1 2

E o que faremos agora? Bom, vamos calcular o valor da função em todos esses pontos. O menor será o mínimo global e o maior será o máximo global:

f x , y = x 3 - 12 x y + 8 y ³

f 0,0 = 0 3 - 12 0 0 + 8 0 3 = 0

f 1 , - 1 2 = 1 3 - 12 1 - 1 2 + 8 - 1 2 3 = 1 + 4 2 → M á x i m o   G l o b a l

f 1 , 1 2 = 1 3 - 12 1 1 2 + 8 1 2 3 = 1 - 4 2 → M í n i m o   G l o b a l

Logo temos:

Resposta

f 1 , - 1 2 = 1 + 4 2 → M á x i m o   G l o b a l

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