Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis
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UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Profº Otoniel Nogueira - Lista 08, Questão 3
Uma indústria produz dois produtos denotados por A e B. O lucro da indústria pela venda de x unidades do produto A e y unidades do produto B é dado por:
Supondo que toda a produção da indústria seja vendida, determinar a produção que maximiza o lucro. Determine, também esse lucro.
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função de duas variáveis dada que representa o lucro de uma empresa:
Onde são as unidades de um produto A e são as unidades de um produto B.
Queremos a produção que irá maximizar o lucro, ou seja, temos que derivar a função para cada variável e igualar a zero para que encontremos os valores de e para o lucro máximo!
Com isso, substituiremos esses valores que encontramos na equação para encontrar o lucro máximo.
E aí? Bora lá?
😉
Passo 2
Então... vamos derivar a função utilizando as derivadas parciais:
Igualando essas duas expressões a zero, obtemos o seguinte sistema:
Resolvendo o sistema, encontramos e ,que são os pontos críticos!!
Agora, através do determinante hessiano, veremos se esses pontos críticos correspondem ao ponto de máximo:
Logo, percebemos que:
E
Assim, podemos concluir que o ponto é máximo que maximiza o lucro.
Passo 3
Nesse sentido, substituindo os pontos encontrados na função do lucro, temos:
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
