Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis
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A função possui
- Infinitos pontos de sela
- Infinitos pontos de máximo local
- Infinitos pontos de mínimo local
- Exatamente um ponto de mínimo local e um de máximo local
- Nenhuma das outras alternativas
Passo 1
Devemos começar achando os pontos críticos. Primeiro vamos calcular as derivadas da função
Então os pontos críticos são aquele que
Passo 2
Da segunda equação temos
Com sendo um número inteiro.
Dessa forma na primeira equação temos
O cosseno vai ser sempre diferente de zero, logo
O ponto crítico é
Com sendo um número inteiro.
Passo 3
Agora devemos calcular o determinante de
Vamos primeiro achar as derivadas segundas
Passo 4
Substituindo os valores dos pontos críticos vamos encontrar
Passo 5
Voltando ao determinante
Como
Vamos ter
Então todos os pontos críticos são pontos de sela, e teremos infinitos pontos de sela.
Resposta
Alternativa (a)
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Mostre que f x , y = x 2 + 4 y 2 - 4 x y + 2 em um número infinito de pontos críticos e que D = 0 em cada um. A seguir, mostre que f tem um mínimo local (e absoluto) em cada ponto crítico.
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1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f x , y = x 3 - 3 x 2 y + 27 y
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