Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis
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Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Máximos e Mínimos
Seja em que e são números reais não nulos. Encontre os pontos críticos de e classifique-os em função de e .
Passo 1
Partiu encontrar os pontos críticos! Sabemos que esses pontos ocorrem quando as derivadas parciais dão , certo? Sendo assim, calculemos essas derivadas!
Derivando em relação a , usamos a regra do produto:
Ou seja, a derivada de , vezes , mais vezes a derivada de !
Agora, derivemos em relação a :
Para isso, apenas tratamos o como constante e usamos a regra da cadeia ;)
Passo 2
Próximo passo, igualar cada derivada a !
Como temos esse termo com o igual duas vezes, coloquemos em evidência:
E agora, vemos que a única maneira de zerar essa equação é quando o termo entre parêntesis dá , pois não importa o número que elevemos , ele nunca será ! Para isso, temos que , e então ;)
Passo 3
Fazendo o mesmo processo para a derivada em relação a , temos:
Para essa equação ser zerada, temos que , ou , certo? Porque, novamente, o termo com o não vai ser nunca.
Olha a nossa função inicial,
Repara que , isso porque tem uma divisão com ali, então não pode ser ponto crítico.
Assim, nosso único ponto crítico fica sendo !
Passo 4
Beleza, agora que temos o ponto crítico, como classificá-lo? Precisamos da matriz com as segundas derivadas, certo? Então, antes de mais nada, cadê essas derivadas? Vamos encontrá-las!
Derivando novamente em relação a , teremos:
Derivando cada termo da diferença acima, temos:
Fazendo essa distributiva do , temos:
Como os dois primeiros termos são iguais e de sinais opostos, cortamos eles! Por fim,
Show! Derivadas em relação a estão aí :)
Passo 5
Agora, derivemos a em relação a novamente:
Apenas usando a regra do produto,
Ok.. não parece ter muito mais coisa pra fazer hehehe
Só pro passo não ficar curto além da conta, vamos encontrar as derivadas mistas? Lembrando que , podemos escolher, entre derivar em relação a a , ou derivar em relação a a ! Fiquemos com a primeira opção :]
Colocando o termoem evidência,
Passo 6
Como o nosso , candidato a máximo, mínimo ou ponto se sela, é , coloquemos esses valores para e em cada uma das segundas derivadas para ver o valor que elas assumem!
Para a segunda derivada em relação a , temos:
Para a segunda derivada em relação a , temos:
Como o termo ,
Para as derivadas mistas, temos:
Como o termo ,
Passo 7
Beleza, agora é preencher o determinante!
Agora temos que analisar esse resultado...
Como o termo com o será sempre positivo, caso , então o determinante é menor que , e o é ponto de sela!
Caso , temos a opção de também. Nesse caso, teremos o determinante maior que , e o , então, teríamos um ponto de mínimo local!
Caso , temos a opção de . Nesse caso, teremos o determinante maior que , e o , então, teríamos um ponto de máximo local!
Resposta
- Caso , então o determinante é menor que , e o é ponto de sela!
- Caso , temos a opção de também, então, teríamos um ponto de mínimo local!
- Caso , temos a opção de também, então, teríamos um ponto de máximo local!