Seja .

a) Encontre os pontos críticos de e classifique-os.

b) Existe que seja ponto de máximo ou de mínimo de em ? Justifique!

Prosseguindo, agora temos que resolver o sistema que diz que as duas derivadas parciais devem ser ! Fica, então:

Pela segunda equação, teremos:

Jogando esse resultado na primeira equação, teremos:

Beleza, agora, podemos colocar o em evidência!

Dessa equação, vemos que, ou , ou , para que toda a equação se zere!

Agora que temos os valores possíveis de , vamos ver os valores para ? Por exemplo, se jogarmos na segunda equação, teremos:

Mas, para qualquer que coloquemos, não há como dar ! Logo, não é uma opção ;)

Vamos tentar agora ? Se fizermos isso, teremos, na segunda equação,

E, assim, vemos que o único ponto crítico ocorre quando e , no ponto !

Show, agora que temos esse ponto crítico nosso dever é classificá-lo, certo? Para fazer isso, temos que ter a matriz hessiana, que é a matriz das segundas derivadas da função.

Partiu calcular as segundas derivadas?

Derivando novamente em relação a , teremos:

Derivando novamente em relação a , teremos:

Por fim, derivando em relação a para encontrar a derivada mista, temos:

Agora que temos as derivadas, podemos montar a matriz hessiana! Ela é:

Colocando as derivadas,

Colocando , o ponto crítico calculado, teremos:

Show! O resultado do determinante deu positivo, logo, é um ponto de máximo ou mínimo. Como a segunda derivada em relação a é , portanto, negativa, então trata-se de um ponto de máximo!

b) Vamos lá... pelo nosso feeling de aluno quando a questão pergunta “se existe” máximo ou mínimo global, você já saca que provavelmente não tem né XD Mas, como provar isso?

A maneira mais simples é ver se existem limites que vão pra infinito. A função é:

E, como vimos, se colocarmos esse fica igual a , o que já reduz a expressão a:

Como e estão com expoentes ímpares, temos que o limite quando é:

Portanto, não há pontos de máximo ou mínimo globais, pois os limites vão pra infinito!