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Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

Mostre que a função g : R 2 → R definida por g x , y = sen ⁡ x + y + sen ⁡ x + sen ⁡ y admite máximo local em π 3 , π 3 e mínimo locam em 5 π 3 , 5 π 3 .

Passo 1

Para achar o ponto de extremo, temos que encontrar primeiro os pontos críticos, para isso vamos achar as derivadas de f

∂ f ∂ x = cos ⁡ x + y + cos ⁡ x

∂ f ∂ y = cos ⁡ x + y + cos ⁡ y

Agora vamos igualar cada derivada à 0 , vamos ter o seguinte sistema

cos ⁡ x + y + cos ⁡ x = 0

cos ⁡ x + y + cos ⁡ y = 0

Subtraindo as equações vamos ter

cos ⁡ x - cos ⁡ y = 0

cos ⁡ x = cos ⁡ y

Então

x = y + 2 k π

Com k ∈ Z

Vamos limitar x e y de 0 à 2 π , assim vamos saber a resposta com k = 0 depois é só ir somando 2 π que vai dar no mesmo porque temos funções seno e cosseno envolvidas.

Assim vamos ter

cos ⁡ y + y + cos ⁡ y = 0

cos ⁡ 2 y + cos ⁡ y = 0

Lembrando que

cos ⁡ 2 y = 2 cos 2 ⁡ y - 1

Vamos ter

2 cos 2 ⁡ y - 1 + cos ⁡ y = 0

2 cos 2 ⁡ y + cos ⁡ y - 1 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau vamos ter

cos ⁡ y = - 1 ± 1 2 - 4 - 1 2 2 ∙ 2 = - 1 ± 1 + 8 4 = - 1 ± 9 4 = - 1 ± 3 4

Temos

cos ⁡ y = 1 2           o u         cos ⁡ y = - 1

Assim vamos ter

y = π 3           o u           y = 5 π 3           o u           y = π

Assim temos 3 pontos

π 3 , π 3           o u           5 π 3 , 5 π 3           o u           π , π

Temos que aplicar o teste da segunda derivada nesses pontos para ver se são máximo ou mínimos ou se não são nada.

Passo 2

Temos que fazer

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

Para cada ponto, para isso primeiro vamos achar as derivadas

f x x = - sen ⁡ x + y - sen ⁡ x

f y y = - sen ⁡ x + y - sen ⁡ y

f x y = - sen ⁡ x + y

Vamos começar pelo ponto π 3 , π 3 , as derivadas vão ser

f x x = - sen ⁡ 2 π 3 - sen ⁡ π 3 = - 3 2 - 3 2 = - 3

f y y = - sen ⁡ 2 π 3 - sen ⁡ π 3 = - 3 2 - 3 2 = - 3

f x y = - sen ⁡ 2 π 3 = - 3 2

Então

H π 3 , π 3 = f x x π 3 , π 3 f x y π 3 , π 3 f y x π 3 , π 3 f y y π 3 , π 3 = - 3 - 3 2 - 3 2 - 3 = 3 - 3 4 = 9 4

Logo como f x x < 0 ele vai ser um ponto de máximo local.

Passo 3

Vamos fazer agora para o ponto 5 π 3 , 5 π 3 , as derivadas vão ser

f x x = - sen ⁡ 10 π 3 - sen ⁡ 5 π 3 = - sen ⁡ 4 π 3 - sen ⁡ 5 π 3 = - - 3 2 - - 3 2 = 3

f y y = - sen ⁡ 10 π 3 - sen ⁡ 5 π 3 = - sen ⁡ 4 π 3 - sen ⁡ 5 π 3 = - - 3 2 - - 3 2 = 3

f x y = - sen ⁡ 10 π 3 = - sen ⁡ 4 π 3 = - - 3 2 = 3 2

Então

H 5 π 3 , 5 π 3 = f x x 5 π 3 , 5 π 3 f x y 5 π 3 , 5 π 3 f y x 5 π 3 , 5 π 3 f y y 5 π 3 , 5 π 3 = 3 3 2 3 2 3 = 3 - 3 4 = 9 4

Logo como f x x > 0 ele vai ser um ponto de mínimo local.

Passo 4

-

Vamos fazer agora para o ponto π , π , as derivadas vão ser

f x x = - sen ⁡ 2 π - sen ⁡ π = - 0 - 0 = 0

f y y = - sen ⁡ 2 π - sen ⁡ π = - 0 - 0 = 0

f x y = - sen ⁡ 2 π = 0

Então

H π , π = f x x π , π f x y π , π f y x π , π f y y π , π = 0 0 0 0 = 0

Logo, pelo teste da segunda derivada não podemos afirmar nada sobre o ponto π , π . Entretanto, já provamos que a função tem máximo local em π 3 , π 3 e mínimo locam em 5 π 3 , 5 π 3 , que é o que a questão estava pedindo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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