Determine e classifique os pontos críticos da função

Começando pela derivada parcial em relação a :

Quando a gente tira a derivada em relação a , tudo o que depende só de é tratado como constante, então:

E agora temos que usar a regra da cadeia pra resolver a derivada dessa exponencial:

Então:

E agora falta a derivada parcial em relação a :

Dessa vez a exponencial vai ser tratada como constante, porque só depende de :

E a derivada do cosseno é o negativo do seno, então:

Beleza, agora já temos as duas derivadas parciais:

O que a gente está procurando são os pontos em que essas duas derivadas se anulam! Então basicamente a ideia é resolver esse sistema aqui:

Podemos dividir as duas expressões por dos dois lados, porque essa função é sempre diferente de zero:

E agora o sistema fica bem mais fácil de resolver. Vamos começar pela equação de baixo.

Essa equação tem infinitas soluções: , , , , e assim por diante, então:

Agora vamos ver a equação de cima:

A primeira parte da solução inclui todos os pontos em que o cosseno se anula:

E a outra é a solução é a mais simples:

Beleza, mas para um ponto ser crítico, as duas expressões precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo!

Então temos que procurar quais valores satisfazem as duas equações:

Então a única forma de satisfazer as duas ao mesmo tempo é:

Outra forma de escrever isso é dizer que o conjunto de pontos críticos é:

Onde é um número inteiro maior ou igual a zero (

Mas ainda falta classificar os pontos críticos, pra isso a gente precisa calcular essa matriz aqui:

Essa é a matriz Hessiana, que vai nos ajudar a classificar os pontos. Mas vamos completar a matriz antes de discutir isso melhor.

Uma propriedade importante das derivadas parciais de funções contínuas, é essa aqui:

Então a gente pode preencher as duas derivadas que faltam calculando uma vez só. Por exemplo:

Nesse caso, todos os termos são constantes, menos o cosseno. Então:

Agora é só substituir na matriz:

E agora vamos calcular as outras duas derivadas segundas:

Aqui a gente precisa usar a regra do produto. Mas antes vamos tirar a constante:

Agora sim:

E a derivada segunda em relação a é:

Beleza, vamos jogar tudo isso na matriz Hessiana:

Tá, mas porque a gente fez todo esse esforço pra encontrar essa matriz? Simples, ela vai nos ajudar a classificar os pontos críticos.

No nosso caso, os pontos críticos acontecem nesses casos aqui:

Substituindo isso na matriz:

Sempre que o argumento do seno é , ele vai se anular:

Ok, agora sim. Vamos tirar o determinante da matriz:

Como :

E o que esse resultado significa? Bom, vamos lembrar da regra pra classificar o ponto crítico a partir do Hessiano:

Lembrando que em todos esses casos estamos avaliando tanto o determinante quanto as derivadas no ponto crítico que queremos classificar.

Então beleza, nosso resultado foi , ou seja, nossos pontos críticos são pontos de sela.