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Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

Seja

f x , y = x 2 + x y + y 2 + x 3

Encontre e classifique todos os pontos críticos de f .

Passo 1

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais para identificar os pontos críticos

∂ f ∂ x = 2 x + y + 3 x 2

∂ f ∂ y = 2 y + x

Passo 2

Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero

∂ f ∂ x = 2 x + y + 3 x 2 = 0

∂ f ∂ y = 2 y + x = 0

Passo 3

Igualando as coordenadas:

2 x + y + 3 x 2 = 0   2 y + x = 0

Pela segunda equação:

y = - x 2

Substituindo na primeira equação:

2 x - x 2 + 3 x 2 = 0

4 x - x + 6 x 2 = 0

6 x 2 + 3 x = 0

Colocando o x em evidencia:

x 6 x + 3 = 0

Assim,

x = 0

Ou

6 x + 3 = 0

x = - 1 2

Então, como

y = - x 2

Temos que

y = - 0 2 = 0

Ou

y = - - 1 2 2 = 1 4

Assim, nossos dois pontos críticos são

P 1 = ( 0,0 )

P 2 = - 1 2   ,   1 4

Passo 4

Vamos analisar que tipos de pontos críticos são estes.

Calculando derivadas segundas:

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 2 x + y + 3 x 2 = 2 + 6 x

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 2 y + x = 2

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 2 y + x = 1

Passo 5

Calculando H P 0 :

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

⇒ H P 0 = 2 + 6 x 1 1 2

⇒ H P 0 = 2 + 6 x 2 - 1 1

⇒ H P 0 = 4 + 12 x - 1

⇒ H P 0 = 12 x + 3

Passo 6

Agora vamos testar para cada um de nossos pontos críticos.

Começando por P 1 = ( 0,0 ) :

H P 1 = H 0,0 = 12.0 + 3 = 3 > 0

Como H P 1 > 0 , então ainda precisamos analisar o sinal de f x x ( P 1 ) .

f x x P 1 = f x x 0,0 = 2 + 6.0 = 2 > 0

Assim, temos então que P 1 é ponto de mínimo.

Passo 7

Agora vamos testar o ponto P 2 = - 1 2   ,   1 4 :

H P 2 = H - 1 2   ,   1 4 = 12 . - 1 2 + 3 = - 6 + 3 = - 3 < 0

Como H P 2 < 0 , temos então que P 2 é ponto de sela.

Resposta

P 1 = ( 0,0 ) é ponto de mínimo.

P 2 = - 1 2   ,   1 4 é ponto de sela.

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