Isolando o na primeira equação:

E substituindo na segunda:

Opa, que que significa isso?

Isso significa que, de início, eu não reparei, mas as duas equações do sistema eram múltiplas. Ou seja, temos na verdade um sistema de 1 equação e duas incógnitas, o que significa que ele pode ter infinitas soluções.

Ou seja, todos os valores de e que respeitarem a regra

São soluções.

Em outras palavras, todos os valores de e que estiverem sobre a reta

São soluções do sistema, ou seja, são pontos críticos da nossa função.

Agora vamos classificar esse ponto crítico.

Calculando as derivadas segundas:

Como são constantes, se substituirmos elas no ponto crítico, teremos a mesmas constantes.

Vamos calcular o determinante:

Como ainda não podemos afirmar nada sobre os pontos críticos.

Vamos tentar analisar o sinal dessa função.

A princípio não parece que dá pra dizer nada né?

Beleza, mas tem uma parte disso daí que é um produto notável olha:

Dessa forma, podemos reescrever nossa função como

Agora vamos lá analisar o sinal disso.

O primeiro termo é um termo ao quadrado, que é sempre maior ou igual a zero.

O segundo termo não está ao quadrado, mas o que ta dentro do parêntese é igual ao termo que tá ao quadrado. E ainda temos um 2 multiplicando ele. Mas aí, um termo ao quadrado é sempre maior ou igual que o dobro desse termo, por exemplo

Assim, o que está sendo subtraído da nossa função é algo menor ou igual do que um termo que é sempre maior ou igual a zero. Então, nossa função é sempre maior ou igual a zero.

Agora, lembrando que nosso ponto crítico são todos os pontos sobre a reta

Se substituirmos ele na nossa função, temos

Assim, nossos pontos críticos são pontos de mínimo local.

Agora entramos com o enunciado.

De acordo com o que ele disse, para funções tipo a nossa, é possível provar que se um ponto é extremante local, então também é global.

Assim, nossos pontos de mínimo local são também pontos de mínimo global.