Assinale a alternativa com a derivada da função f :   C → C dada por f x + i y = u x , y + i v ( x y ) tal que u x , y = e x cos ⁡ y e v x , y = e x sin ⁡ y

Passo 1

A função ( f x + i y = u x , y + i v x , y ) é uma função de variável complexa, onde ( u x , y )

e ( v x , y ) são funções reais que definem a parte real e a parte imaginária da função, respectivamente.

Aqui,

( u x , y = e x cos ⁡ y )

e

( v x , y = e x sin ⁡ y )

A derivada da função ( f ) em relação a ( z   =   x   +   i y ) é dada por:

[ f ' z = ∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x ]

Passo 2

Calculando as derivadas parciais:

[ ∂ u ∂ x = ∂ ∂ x e x cos ⁡ y = e x cos ⁡ y ]

[ ∂ v ∂ x = ∂ ∂ x e x sin ⁡ y = e x sin ⁡ y ]

Agora, substituindo essas derivadas nas equações, temos:

[ f ' z = e x cos ⁡ y + i e x sin ⁡ y ]

Portanto, a alternativa correta é:

[ f ' z = e x cos ⁡ y + i e x sin ⁡ y ]

Resposta

[ f ' z = e x cos ⁡ y + i e x sin ⁡ y ]

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