UFABC – Cálculo 1 – Lista 3 – 18
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Passo 1
Oi, gente!! Tudo bem? Olha, nessa questão vamos primeiro fazer exatamente o que é pedido, derivarmos a função várias vezes (n vezes), só que a ideia aqui não é derivar infinitamente, mas sim perceber que provavelmente poderemos encontrar uma forma de explicitar essa derivada vezes quanto for necessário.
Para começar nossa vida nessa questão, vamos chamar de e a partir de agora, partiu derivadasss!!!
Passo 2
Fazendo a primeria derivada, vamos ter:
Perceba o seguinte: Se utilizarmos a derivada com essa carinha, vamos ter que aplicar a regra do quociente, mas vamos usar da malandragem aqui e vamos escrever da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda derivada
Vamos pra terceira derivada:
Para a quarta:
Passo 4
Ok, vamos parar de derivar aí e agora analisar.
Bem, a primeira coisa que percebemos é que, o grau da variável acompanha exatamente a ordem da derivada, ou seja, pra primeira, segunda e terceira derivada, por exemplo, a ordem de é 1, 2 e 3, respectivamente.
Mas agora, perceba outra coisa importantíssima!!! O sinal de negativo aparece nas derivadas que tem ordem PAR, e aí como escrever isso, né?
Esse é o grande macete dessa questão que quero que você lembre disso PRA SEMPRE!! Toda vez que um sinal ficar alternando entre positivo e negativo, você pode descrever esse sinal exatamente da forma como explicitei acima.
Passo 5
Com as observações dadas no passo 4, podemos escrever que: