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Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Trigonométricas

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - 1ª Lista - 2023.1, Questão 14e

Derive as funções abaixo:

e)  p ( x ) = s e c ⁡ ( x ) - t g ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) + s e n ⁡ ( x )

Passo 1

Vamos derivar a função p ( x ) = s e c ⁡ ( x ) - t a n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) usando as regras de derivação básicas e as derivadas das funções trigonométricas.

A derivada da função secante é s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) e a derivada da função tangente é s e c 2 ⁡ ( x ) . A derivada da função seno é c o s ⁡ ( x ) e a derivada da função cosseno é - s i n ⁡ ( x ) . Vamos usar essas derivadas para calcular a derivada da função p ( x ) .Primeiro, vamos simplificar p ( x ) um pouco:

p ( x ) = s e c ⁡ ( x ) - t a n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x )

Passo 2

Agora, vamos calcular a derivada de p ( x ) usando as derivadas das funções trigonométricas:

p ' ( x ) = s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) - s e c 2 ⁡ ( x ) ( c o s ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) ) - ( s e c ⁡ ( x ) - t a n ⁡ ( x ) ) ( - s i n ⁡ ( x ) + c o s ⁡ ( x ) ) ( c o s ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) ) 2

p ' ( x ) = s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) s i n ⁡ ( x ) - s e c 2 ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) - s e c 2 ⁡ ( x ) s i n ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) s i n ⁡ ( x ) - s e c ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) + t a n ⁡ ( x ) s i n ⁡ ( x ) - t a n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) ( c o s ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) ) 2

p ' ( x ) = s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) ( c o s ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) ) - s e c 2 ⁡ ( x ) ( c o s ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) ) + s e c ⁡ ( x ) s i n ⁡ ( x ) - s e c ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) + t a n ⁡ ( x ) s i n ⁡ ( x ) - t a n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( c o s ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) ) 2   ( x )

Passo 3

Simplificando e agrupando os termos:

p ' ( x ) = s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) s i n ⁡ ( x ) - s e c 2 ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) - s e c 2 ⁡ ( x ) s i n ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) s i n ⁡ ( x ) - s e c ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) + t a n ⁡ ( x ) ( c o s ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) ) 2   s i n ⁡ ( x ) - t a n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x )

Resposta

Portanto, a derivada da função  p ( x ) = s e c ⁡ ( x ) - t a n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x )  em relação a  x  é:

p ' ( x ) = s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) s i n ⁡ ( x ) - s e c 2 ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) - s e c 2 ⁡ ( x ) s i n ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) s i n ⁡ ( x ) - s e c ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) + t a n ⁡ ( x ) s i n ⁡ ( x ) - t a n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) ( c o s ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) ) 2

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