Determine a derivada de cada função:

(22) f(u) = u^2 + 3u * tan(u)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a derivada da função:

f u = u 2 + 3 u tan ⁡ u

Repare que nós temos uma soma de funções e, pelas propriedades das derivadas, a derivada da soma é igual a soma das derivadas. Isso quer dizer que vamos ter que derivar termo a termo.

Observe também que nosso segundo termo é um produto de funções, 3 u ∙ tan ⁡ u , então vamos precisar aplicar a regra do produto:

h u ∙ g ( u ) ' = h ' u ∙ g u + h u ∙ g ' ( u )

No nosso caso, h u = 3 u e g u = tan ⁡ u . Então, basta seguir a fórmula e ir substituindo as derivadas.

Vamos lá!

Passo 2

A derivada da nossa função vai ser dada por:

f ' u = u 2 ' + 3 u tan ⁡ u '

No primeiro termo, temos uma função polinomial, u 2 , que pode ser derivada pela regra da potência:

d d x u n = n u n - 1

O segundo termo vamos derivar de acordo com a regra do produto, sabendo que a derivada da tangente é igual a secante ao quadrado:

3 u tan ⁡ u ' = 3 u ' tan ⁡ u + 3 u tan ⁡ u '

3 u tan ⁡ u ' = 3 tan ⁡ u + 3 u sec 2 ⁡ u

Então, juntando tudo, vamos ter:

f ' u = 2 u + 3 tan ⁡ u + 3 u sec 2 ⁡ u

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 u + 3 tan ⁡ u + 3 u sec 2 ⁡ u

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