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Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Trigonométricas

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - 1ª Lista - 2023.1, Questão 15c

Encontre a derivada das seguintes funções:

c)  h ( x ) = t g ⁡ ( x ) ⋅ s e c ⁡ ( x )

Passo 1

Vamos encontrar a derivada da função h ( x ) = t a n ⁡ ( x ) ⋅ s e c ⁡ ( x ) usando a regra da cadeia.A função t a n ⁡ ( x ) ⋅ s e c ⁡ ( x ) é uma composição de duas funções: a função t a n ⁡ ( x ) e a função s e c ⁡ ( x ) . A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função externa pela derivada da função interna.

A derivada da função externa t a n ⁡ ( x ) é s e c 2 ⁡ ( x ) , e a derivada da função interna s e c ⁡ ( x ) é s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x )

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia:

h ' ( x ) = s e c 2 ⁡ ( x ) ⋅ s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x )

Simplificando:

h ' ( x ) = s e c 3 ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x )

Resposta

Portanto, a derivada da função h ( x ) = t a n ⁡ ( x ) ⋅ s e c ⁡ ( x ) em relação a x é h ' ( x ) = s e c 3 ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) .

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