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Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Trigonométricas

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 1 – Lista 5 – Questão 1d

Determine d y d x

y = s e n x - c o s ⁡ ( x ) s e n x + c o s ⁡ ( x )    

Passo 1

Aqui como não temos nenhuma função trigonométrica composta, vamos aplicar direto nossa derivada!

d d x s e n x - cos ⁡ x s e n x + cos ⁡ x

Já podemos perceber que aí vai rolar uma regra do quociente, né?

Passo 2

Vamos agora fazer nossa derivadaaa!!

d d x s e n x - cos ⁡ x s e n x + cos ⁡ x =

= d d x s e n x - cos ⁡ x s e n x + cos ⁡ x - s e n x - cos ⁡ x d d x s e n x + cos ⁡ x s e n x + cos ⁡ x 2 =

= cos ⁡ x + s e n x s e n x + cos ⁡ x - s e n x - cos ⁡ x cos ⁡ x - s e n x s e n 2 x + 2 s e n x cos ⁡ x + cos 2 ⁡ ( x )

Opa, apareceu ali um s e n 2 x + cos 2 ⁡ ( x )   e isso é uma propriedade trigonométrica que fala que essa soma é necessariamente igual a 1!!

cos ⁡ x + s e n x s e n x + cos ⁡ x - s e n x - cos ⁡ x cos ⁡ x - s e n x 2 s e n x cos ⁡ x + 1

cos ⁡ x s e n x + cos 2 ⁡ x + s e n 2 x + s e n x cos ⁡ x - s e n x cos ⁡ x - s e n 2 x - cos 2 ⁡ x + s e n x cos ⁡ x 2 s e n x cos ⁡ x + 1

De novo, olha quantos pares de cos 2 ⁡ x + s e n 2 ( x ) apareceram aí!!!

2 cos ⁡ x s e n x + 1 - [ 2 cos ⁡ x s e n x - 1 ] 2 s e n x cos ⁡ x + 1 = 2 2 s e n x cos ⁡ x + 1 = 1 s e n x cos ⁡ x + 2

Resposta

d y d x = 1 s e n x cos ⁡ x + 2

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Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x