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Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Trigonométricas

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - 1ª Lista - 2023.1, Questão 14f

Derive as funções abaixo:

f)  q ( x ) = 1 - x t g ⁡ ( x ) + c o t g ⁡ ( x )

Passo 1

Vamos derivar a função q ( x ) = 1 - x t a n ⁡ ( x ) + c o t ⁡ ( x ) usando as regras de derivação básicas e as derivadas das funções trigonométricas.

A derivada da função tangente é s e c 2 ⁡ ( x ) e a derivada da função cotangente é - c s c 2 ⁡ ( x ) . A derivada da raiz quadrada de x é 1 2 x . Vamos usar essas derivadas para calcular a derivada da função q ( x ) .Primeiro, vamos simplificar q ( x ) um pouco:

q ( x ) = 1 - x t a n ⁡ ( x ) + c o t ⁡ ( x )

Passo 2

Agora, vamos calcular a derivada de q ( x ) usando as derivadas das funções trigonométricas:

q ' ( x ) = 1 2 x ( t a n ⁡ ( x ) + c o t ⁡ ( x ) ) - ( 1 - x ) s e c 2 ⁡ ( x ) - c s c 2 ⁡ ( x ) ( t a n ⁡ ( x ) + c o t ⁡ ( x ) ) 2

q ' ( x ) = t a n ⁡ ( x ) 2 x + c o t ⁡ ( x ) 2 x - s e c 2 ⁡ ( x ) + c s c 2 ⁡ ( x ) + x s e c 2 ⁡ ( x ) - x c s c 2 ⁡ ( x ) ( t a n ⁡ ( x ) + c o t ⁡ ( x ) ) 2

q ' ( x ) = t a n ⁡ ( x ) + c o t ⁡ ( x ) 2 x - s e c 2 ⁡ ( x ) + c s c 2 ⁡ ( x ) + x s e c 2 ⁡ ( x ) - c s c 2 ⁡ ( x ) ( t a n ⁡ ( x ) + c o t ⁡ ( x ) ) 2 .

Simplificando e agrupando os termos:

q ' ( x ) = t a n ⁡ ( x ) + c o t ⁡ ( x ) 2 x - s e c 2 ⁡ ( x ) + c s c 2 ⁡ ( x ) + x s e c 2 ⁡ ( x ) - c s c 2 ⁡ ( x ) ( t a n ⁡ ( x ) + c o t ⁡ ( x ) ) 2

Resposta

Portanto, a derivada da função q ( x ) = 1 - x t a n ⁡ ( x ) + c o t ⁡ ( x ) em relação a x é:

q ' ( x ) = t a n ⁡ ( x ) + c o t ⁡ ( x ) 2 x - s e c 2 ⁡ ( x ) + c s c 2 ⁡ ( x ) + x s e c 2 ⁡ ( x ) - c s c 2 ⁡ ( x ) ( t a n ⁡ ( x ) + c o t ⁡ ( x ) ) 2 .

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