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Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Trigonométricas

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Enunciado

UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 3, AV3 - 2023.1, Questão 4

Assinale a única alternativa correta sobre as funções seno e cosseno complexos.

  1. sin ' ⁡ z = cosh ⁡ z
  2. sin 2 ⁡ z + cos 2 ⁡ z = 1
  3. sin ' ⁡ z = i cos ⁡ z
  4. sin 2 ⁡ z - cos 2 ⁡ z = 1
  5. Se z = i z com y   ∈   R então sin ⁡ z = sinh ⁡ y

Passo 1

A única alternativa correta é:

s i n 2 ⁡ z + c o s 2 ⁡ z = 1

Esta é a fórmula do círculo trigonométrico, que é válida tanto para números reais quanto para números complexos.

Passo 2

As outras alternativas estão erradas:

s i n ' ⁡ z = c o s h ⁡ z  

A derivada de s i n ⁡ z é c o s ⁡ z , e a derivada de c o s h ⁡ z   é s i n h ⁡ z .

s i n ' ⁡ z = i   c o s ⁡ z

A derivada de s i n ⁡ z é c o s ⁡ z , e i   c o s ⁡ z é um número complexo.

s i n 2 ⁡ z - c o s 2 ⁡ z = 1

Esta equação não é válida, pois o lado esquerdo é sempre menor que 1.

Se z=iz com y ∈ R então   s i n ⁡ z = s i n h ⁡ y

Esta afirmação não é válida, pois s i n ⁡ z é um número real, e s i n h ⁡ y é um número complexo.

Resposta

s i n 2 ⁡ z + c o s 2 ⁡ z = 1

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