UFJF, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - UFJF - 2° Lista - 2022.2, Questão 5
Suponha que a função diferenciável é dada implicitamente por . Determine e .
Passo 1
Fala aí gente, tudo tranquilo?
Nessa ilustríssima questão precisamos calcular as derivadas parciais (em relação a e a ) de uma função de duas variáveis que está definida implicitamente. É a função que está definida implicitamente como:
E queremos encontrar e .
Show de bola! Mas, como é que podemos derivar essa coisa se não conseguimos nem mesmo isolar o ?
Então galerinha, esse é justamente o grande ponto das derivadas implícitas. Algumas funções não são determinadas por uma expressão bonitinha, e temos apenas uma equação relacionando a nossa função, e as variáveis que ela depende.
Nesses casos, precisamos derivar os dois lados da equação em relação uma variável que (aqui será em relação a e ), e depois buscamos isolar a derivada da função .
Beleza?
Então bora lá 😉
Passo 2
Vamos começar derivando os dois lados da nossa equação:
em relação a . Assim, buscamos calcular .
Importante reforçar que, como trata-se de uma derivada parcial, vai funcionar como uma constante, enquanto é uma função de .
Massa!
Vamos trabalhar o lado esquerdo!
Usando que a derivada da soma é a soma das derivadas, temos:
Como é uma constante, vamos colocá-lo para fora de cada uma dessas derivadas:
Agora vamos realizar as derivações normalmente:
Já para o próximo termo, devemos lembrar que:
Assim:
Por fim, precisamos calcular:
Como temos o produto de funções de , vamos usar a regra do produto:
Assim:
Excelente! Substituindo tudo na última expressão que chegamos para a derivada do lado esquerdo:
Ficamos com:
Muito bom!
Passo 3
Vamos agora trabalhar com o lado direto da derivada:
Separando novamente as somas, temos:
A derivada de uma constante é sempre nula, e é como uma função de . Assim:
Perfeito! Igualando os dois lados que trabalhamos vamos ter:
Lembra que o nosso objetivo é calcular , então vamos tentar isolar esse termo:
Passando tudo que tem para o lado direito:
Por fim, temos:
Prontinho! A primeira parte já foi 😊
Passo 4
Nossa missão agora é calcular !
Mas, não se preocupa, vai ser bem semelhante ao que fizemos no passo .
Vamos derivar os dois lados da equação:
em relação a .
Novamente, bora começar manipulando o lado esquerdo da equação:
Usando que a derivada da soma é a soma das derivadas:
Agora, é como uma constante. Colocando-o pra fora das derivadas parciais:
Calculando cada derivada separadamente:
No próximo termo, da derivada exponencial, temos:
Chamando de , ficamos com:
Então, precisamos usar a regra da cadeia:
Logo:
Boa, deu um trabalhinho, mas saiu.
Por fim, temos de novo o produto de duas funções (mas agora de ):
Usando a regra do produto:
Boa! Substituindo tudo de volta no lado esquerdo da equação, temos:
Perfeito!
Passo 5
Como já derivamos o lado esquerdo da equação:
Vamos para o lado direito:
Separando a soma:
Como a derivada de uma constante é nula, e usando também a derivada polinomial:
Excelente! Igualando os dois lados que manipulamos:
Passando todos os termos com pro lado direito:
Por fim, isolando , temos: