UFCG. Cálculo 1. Listas UAMat. Lista 2 Derivadas. Questão 24.
24 – Seja . Verifique que .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Já chegamos até aqui, então vamos resolver mais umazinha pra conta? 😉👍
O primeiro passo sempre é tentar entender o que devemos fazer na questão.
Calma! Não desiste não, eu tô com você!
O problema deu pra gente a função
E pediu pra gente verificar se
Na verificação precisaremos da derivada de em ralação a , que é esses , e também precisaremos da derivada de segunda ordem de e relação a , que é esse aí. Depois devemos aplicar tudo nessa relação, e isso tem que ser igual a zero. Ou seja, se a gente fizer tudo certinho, o lado esquerdo terá que dar zero. Sacou?!
Bom, então vamos precisar de todas as partes dessa relação, e para isso precisamos saber quem é , que é e quem é .
Bora descobrir! Partiu?!😎
Passo 2
O enunciado já nos disse que
Mas precisamos achar . E para fazer essa derivada nós devemos observar primeiro que a função é um produto da função pela função . Assim, vamos usar a regra do produto, que diz que:
Se
Então
E chamando
Ficamos com
E para
e
Agora basta substituir na regra do produto:
Que pode ser escrito como
Show de bola, a primeira parte já foi!
Passo 3
Agora vamos encontrar a derivada de segunda ordem de , dada por . Para isso, vamos pegar a primeira derivada que acabamos de calcular e derivar novamente.
Repare que temos um produto mais uma vez. Agora estamos multiplicando por . Então, vamos aplicar a regra do produto, sendo.
e
e para
teremos
Agora é só substituir na regra do produto
Arrumando melhor teremos:
Passo 4
Maravilha, agora o que nos resta é colocar tudo na relação que o problema deu pra gente, que é essa aqui:
Lembrando que
Substituindo tudo, ficaremos com:
Fazendo a distributiva de , nossa relação se torna:
Perceba que o lado esquerdo da equação é composto de dois pares de parcelas simétricas, o que dará zero, mostrando que a relação é verdadeira.
E é isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
Demonstração.