UFABC – Cálculo 1 – Lista 3 – 17
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Passo 1
Oi, gente!! Tudo bem? Olha, nessa questão vamos primeiro fazer exatamente o que é pedido, derivarmos a função sen várias vezes (n vezes), só que a ideia aqui não é derivar infinitamente, mas sim perceber que provavelmente poderemos encontrar uma forma de explicitar essa derivada vezes quanto for necessário.
Para começar nossa vida nessa questão, vamos chamar de e a partir de agora, partiu derivadasss!!!
Passo 2
Fazendo a primeria derivada, vamos ter:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda derivada
Vamos pra terceira derivada:
Para a quarta:
Passo 4
Ok, vamos parar de derivar aí e agora analisar.
1 – Quando a ordem da derivada é ÍMPAR, temos a função aparecendo, e por sua vez, quando a derivada é PAR, temos o .
2 – O coeficiente que aparece na frente dessas funções trigonométricas foram 2, 4, 8, 16, ..., note que isso é a mesma coisa que escrever , onde é a ordem da derivada.
Passo 5
Com as observações dadas no passo 4, podemos escrever que: