UFABC – Cálculo 1 – Lista 3 – 3
Está vazando água de um tanque cônico invertido a uma taxa de . Ao mesmo tempo, está sendo bombeada água para dentro do tanque a uma taxa constante. O tanque tem de altura e o diâmetro no topo é de . Se o nível da água estiver subindo a uma taxa de quando a altura da água for , encontre a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada para dentro do tanque.
Passo 1
A variação no volume total do volume () corresponde à diferença entre a taxa com que o volume é acrescido () e a taxa com que o volume vaza (), ou seja:
Se a água está vazando a uma taxa de então :
Passo 2
O volume total é dado por:
Onde é o raio do topo da área preenchida em um nível de altura .
Se a altura máxima do cone é m enquanto o nível da água nessa altura tem um diâmetro de que corresponde a um raio , então todo par altura-raio é proporcional à isso. Logo:
Então, o volume é:
Derivando em função do tempo:
Passo 3
Como visto anteriormente, portanto
Se no memento em que a altura é metros centímetros e está variando a uma taxa cm/min, então:
Logo, a água está sendo bombeada a uma taxa de .
Resposta
A água está sendo bombeada a uma taxa de .