3. Existe algum valor de que torne
Contínua em ? E derivável em ? Justifique suas respostas.
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Vamos começar verificando em que ponto a nossa será contínua.
Para isso, temos que reparar que o ponto é um ponto onde a função muda de comportamento. Então para que essa função seja contínua temos que os limites laterais naquele ponto sejam iguais. Ou seja,
Então vamos verificar essa igualdade e encontrar .
Passo 2
Repara que valores menores que , a função tem o comportamento de . Então o nosso limite de . Fica assim:
Agora, para valores maiores de , a função tem a cara de . Então:
Como tínhamos que,
Logo, para , é continua em .
Passo 3
Agora vamos ver se a função é derivável. Para isso temos que lembrar que, funções que não são contínuas em um certo ponto, automaticamente, não são diferenciáveis nesse ponto.
Mas acabamos de ver que para , a função for contínua. Sendo assim, ela pode ou não ser diferenciável. Então, precisamos usar outro critério para avaliar.
O outro critério será que ela precisa ter suas derivadas laterais iguais e diferente de . Ou seja, no nosso ponto , a função é diferenciável se:
Então bora calcular essas derivadas no ponto!
Passo 4
Para , vimos que a função tem a cara de . Então derivando,
Fazendo a derivada no ponto, ficamos com
Agora vamos para , onde a função assume a cara de
Fazendo a derivada no ponto, ficamos com
Opaaa, acabamos de ver que
Logo, a função não é diferenciável em , independente de qualquer .
Resposta
- Para , é contínua em .
- Não existe nenhum , onde é diferenciável em .