7. Seja a função , . Dê a expressão de .
(Sugestão: Faça e obtenha usando a regra da cadeia.)
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Temos um derivada para resolver, mas ela é mais complicadinha do que o normal, pois temos uma função na base e no expoente.
Se tentarmamos aplicar a regra da cadeia direto nessa função para derivar, ainda assim será complicado. Mas fica tranquilo, que o próprio enunciado deu uma dica para usarmos a seguinte igualdade,
Você pode pensar que continuamos com o mesmo problema, pois temos função de na base e no expoente. Mas agora podemos aplicar a seguinte propriedade de logaritmo
Sendo, assim a gente pode passar o expoente para frente do logaritmo, multiplicando, fica assim:
Pronto! Agora vamos derivar a nossa função dos dois lados!
Passo 2
Galerinha, para calcular essa derivada, vamos fazer uma derivação implícita!
Derivando o lado esquerdo em função de , ficamos com
Agora vamos derivar o lado direito!
Passo 3
Para calcular , vamos aplicar a regra do produto primeiro:
Fazendo a derivada da tangente ficamos com,
Agora para achar , vamos aplicar a regra da cadeia,
Juntando tudo, ficamos com,
Passo 4
Voltando para a derivada implícita, ficamos com
Passando para o outro lado ficamos com,
Mas lembra que,
Então,
Prontinho!