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Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Trigonométricas

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, 2° Estágio - 2022.1, Questão 4

Calcule a derivada segunda da função f ( x ) = l n ( s e c ( x ) + t g ( x ) ) 2

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1.

Nosso objetivo é calcular a derivada segunda de f ( x ) = l n ( s e c ( x ) + t g ( x ) ) 2 . Para isso, precisamos calcular a primeira derivada primeiro. Então mão na massa!!!

A derivada de uma função f é:

f ' ( x ) = d d x l n ( s e c ( x ) + t g ( x ) ) 2

Usando a regra da cadeia, temos:

= 2 l n ( s e c ( x ) + t g ( x ) ) * d d x l n ( s e c ( x ) + t g ( x ) )

Usando a regra da cadeia temos:

= 2 l n ( s e c ( x ) + t g ( x ) ) * 1 ( s e c ( x ) + t g ( x ) ) * d d x ( s e c ( x ) + t g ( x ) )

Usando o fato que d d x s e c ( x ) = s e c ( x ) t g ( x )       e que d d x t g ( x ) = s e c 2 ( x ) , então:

= 2 ( l n ( s e c ( x ) + t g ( x ) ) * s e c ( x ) t g ( x ) + s e c 2 ( x ) ) / ( s e c ( x ) + t g ( x ) )

= 2 ( l n ( s e c ( x ) + t g ( x ) ) * s e c ( x ) )

Ou seja,

f ' ( x ) = 2 ( l n ( s e c ( x ) + t g ( x ) ) * s e c ( x ) )

Agora, para obter a derivada segunda é necessário derivar novamente

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Derivando uma segunda vez::

f ' ' ( x ) = d d x f ' ( x )

= d d x 2 ( l n ( s e c ( x ) + t g ( x ) ) * s e c ( x ) )

Usando a regra do produto e a linearidade da derivada temos:

= 2 ( d d x s e c ( x ) * l n ( s e c ( x ) + t g ( x ) ) + s e c ( x ) * d d x l n ( s e c ( x ) + t g ( x ) ) )

Usando o fato que d d x s e c ( x ) = s e c ( x ) t g ( x )       e que d d x t g ( x ) = s e c 2 ( x ) , então:

= 2 ( s e c ( x ) t g ( x ) l n ( s e c ( x ) + t g ( x ) ) + s e c ( x ) * d d x l n ( s e c ( x ) + t g ( x ) ) )

Usando a regra da cadeia:

= 2 ( s e c ( x ) t g ( x ) l n ( s e c ( x ) + t g ( x ) ) + s e c ( x ) * 1 s e c ( x ) + t g ( x ) d d x ( s e c ( x ) + t g ( x ) ) )

Usando o fato que enunciamos anteriormente

= 2 ( s e c ( x ) t g ( x ) l n ( s e c ( x ) + t g ( x ) ) + s e c ( x ) * 1 s e c ( x ) + t g ( x ) ( s e c ( x ) t g ( x ) + s e c 2 ( x ) ) ) )

Simplificando:

= 2 ( s e c ( x ) t g ( x ) l n ( s e c ( x ) + t g ( x ) ) + s e c 2 ( x ) )

Ou seja, a nossa derivada segunda é

f ' ' ( x ) = 2 ( s e c ( x ) t g ( x ) l n ( s e c ( x ) + t g ( x ) ) + s e c 2 ( x ) )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

f ' ' ( x ) = 2 ( s e c ( x ) t g ( x ) l n ( s e c ( x ) + t g ( x ) ) + s e c 2 ( x ) )

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