UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Trabalho C1 - 2022.1, Questão 2ij
Determine as derivadas, até segunda ordem, das funções abaixo:
Passo 1
Oiie, tudo certinho contigo?
O enunciado nos dá duas funções
precisamos calcular a primeira e segunda derivada de cada uma delas! Para isso vamos utilizar regras básicas como a regra do tombo, a regra do produto e a regra da cadeia, assim como derivadas conhecidas! Belezinha? Vamos lá!
Passo 2
Vamos calcular primeiro a derivada de
a primeira derivada será dividida em dois termos da forma
a primeira derivada é conhecida e toma a forma
Para a segunda derivada vamos reescrever um pouquinho a função usando que . Portanto, temos que
Para a segunda derivada vamos relembrar a regra da cadeia! Vem comigo!
Passo 3
A regra da cadeia é usada para funções compostas da forma , de forma que
temos que calcular
identificando que e , podemos usar a regra do tombo
para escrever que
ou, resumindo, temos que
A derivada é dada então por
Vamos calcular a segunda derivada agora!
Passo 4
A segunda derivada é a derivada do resultado que acabamos de obter, temos que
O segundo termo já é conhecido, temos que
agora, o primeiro termo irá precisar da regra do quociente! Vamos lá!
Uma vez que temos uma função forma , podemos derivar essa relação usando a regra do quociente
identificando que e , temos que
A primeira derivada acima é obtida pela regra do tombo como
Para a segunda derivada iremos precisar da regra da cadeia, mas agora temos que e , portanto
ou, resumidamente, temos que
Sendo assim, temos que
E, a nossa segunda derivada será simplesmente
Maravilha! Uma já foi! Vamos resolver a outra agora!
Passo 5
Temos que calcular agora a derivada da função
a derivada tem então a forma
Temos aqui duas derivadas pela regra do produto! Vamos começar com a mais simples! Temos que calcular
temos que a função acima é definida tal que , em que e , portanto, precisamos usar a regra do produto da forma
Temos que
em que usei a regra do tombo! A segunda derivada que precisamos é conhecida da forma
temos que nossa derivada tem então a forma
Ainda precisamos calcular o segundo termo! Mas ele é um pouco mais complicado! Vamos seguir para o próximo passo!
Passo 6
Temos que calcular a seguinte derivada
pela regra do produto podemos expandir essa derivada como
a primeira derivada já fizemos algumas vezes, o segundo termo irá precisar da regra da cadeia, identificando que e , temos que
usando que
e, usando a regra do tombo, temos que
Temos então que a derivada do segundo termo é tal que
e, a nossa primeira derivada é dada por
Vamos calcular agora a segunda derivada! Saca só!
Passo 7
Por sorte, já calculamos boa parte das derivadas que serão necessárias, podemos escrever a primeira derivada como
a segunda derivada será
substituindo os resultados que já calculamos anteriormente, temos que
Precisamos apenas aplicar a regra do quociente no terceiro termo acima! Usando a fórmula da regra do quociente para e , temos que
ou, simplificando, temos que
A segunda derivada tem então a seguinte forma
evidenciando alguns termos, temos que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau|
Resposta
e
e