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Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Trigonométricas

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 2ª Lista de Exercícios, Questão 1.3d

Calcule a primeira derivada da função usando as regras de derivação

f ( x ) = x * c o s ( x ) * s i n ( x )

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos calcular a derivada da função

f ( x ) = x * c o s ( x ) * s i n ( x )

Vamos relembrar algumas regras de derivação:

A regra da razão, que diz que

d d x f ( x ) / g ( x ) = ( f ' ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ' ( x ) ) / g ² ( x )

A regra da cadeia, que diz que

d d x f ( g ( x ) ) = f ' ( g ( x ) ) * g ' ( x )

A regra do produto, que diz que

d d x f ( x ) * g ( x ) = f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

A regra do polinômio, que diz que

d d x x n = n x n - 1

Passo 2

Vamos usar a regra do produto duas vezes

f ( x ) = x * c o s ( x ) * s i n ( x )

vamos dizer que g ( x ) = x * c o s ( x ) então,

f ( x ) = g ( x ) * s i n ( x )

então, pela regra da cadeia

d d x f ( x ) = d d x g ( x ) * s i n ( x ) + g ( x ) d d x s i n ( x )

= d d x g ( x ) * s i n ( x ) + g ( x ) c o s ( x )

Mas como g ( x ) = x * c o s ( x ) . Usando a regra da cadeia, sua derivada é:

d d x g ( x ) = c o s ( x ) - x s i n ( x )

Logo,

( c o s ( x ) - x s i n ( x ) ) * s i n ( x ) + ( x * c o s ( x ) ) c o s ( x )

= c o s ( x ) s i n ( x ) - x ( s i n ² ( x ) - c o s ² ( x ) )

Logo,

d d x f ( x ) = c o s ( x ) s i n ( x ) - x ( s i n ² ( x ) - c o s ² ( x ) )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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