Considere a curva definida pela equação y^4 - 4y^2 = x^4 - 9x^2 . Calcule dy / dx e encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto (3, 2) .

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Vamos juntos entender essa questão aqui!!

Bom.. a questão nos pede encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto ( 3,2 ) ...

Sabemos que a equação de uma reta em um determinado ponto é dada por:

y - y 0 = a ( x - x 0 )

Se pararmos para analisar a equação acima, temos que:

  • x 0 = 2 ;
  • y 0 = 3 ;
  • a é a inclinação da reta, ou seja, a derivada d y d x .

Assim, concluímos que, para que nossa questão seja finalizada, temos que encontrar a derivada da função que nos foi dada!!!

Bora lá!!

Passo 2

Dessa forma, derivando a função dos dois lados em relação a x , temos:

4 y 3 d y d x - 8 y d y d x = 4 x 3 - 18 x ∴

Isolando d y d x , temos:

d y d x = 2 x 3 - 9 x 2 y 3 - 4 y

Passo 3

Assim, substituindo ( x , y ) por ( 3,2 ) , temos:

d y d x = 2 3 3 - 9 3 2 2 3 - 4 2 ∴

d y d x = a = 27 8

Passo 4

Por fim, substituindo na equação do Passo 1 e fazendo x 0 , y 0 = ( 3,2 ) , temos:

y - 2 = 27 8 ( x - 3 )

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y - 2 = 27 8 ( x - 3 )

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