8. Mostre que a função
É diferenciável em e de o valor de .
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos que verificar que a função é diferenciável em . E nossa função tem essa cara aqui,
Então, galerinha, o que muda nessa função é somente o ponto . Quando isso acontecer, basta testar a continuidade da função no ponto em que ela muda de expressão. Se ela for continua nesse ponto, será derivável ali e como a outra expressão é derivável sempre a será derivável em todo o lugar.
E para verificar se é continua em , precisamos verificar se o limite de é igual a função no ponto, ou seja, temos que verificar se
Bora lá!
Passo 2
Pela função temos que
Agora precisamos verificar se o limite de também irá zerar,
Repara que esse limite a gente não consegue calcular direto, pois temos um . Mas, lembra que toda função seno é uma função limitada entre e ,
Então, vamos aplicar o Teorema do Confronto para achar esse limite!
Passo 3
Para quem não lembra, o Teorema diz o seguinte: se você quer calcular o limite de para e temos que:
Ou seja, está entre e. Se vc quiser poderia jogar o limite em tudo, assim:
Se, por acaso, tivermos que:
Então,
Pois está entre as duas outras funções.
Aplicando, vimos que,
Mas a nossa função é , então vamos multiplicar em tudo,
Agora vamos calcular o limite de
Como temos que,
Temos que,
Prontinho!
Passo 4
Voltando para a nossa continuidade! Queriamos verificar que,
E vimos, que
Logo, a nossa função é contínua e diferenciavel em
Passo 5
Por fim, também temos que dar o de
Como no ponto , a nossa função tem essa cara
Derivando ficamos com,
Logo,
Resposta
- A função é derivável em